Lineare abbildung berechnen

Erste Frage Aufrufe: 79     Aktiv: 12.06.2021 um 21:25

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kann mir wer diese aufgabe erklären

Sei L: R^3 ---> R eine lineare Abbildung von der die folgenden Werte bekannt sind:
L(1,0,0) = 1
L(0,1,0) = 2
L(0,0,1) = 3

Berechne L(1,2,3)

Danke
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Hallo
Also du weisst ja dass man jede Lineare Abbildung mit einer Matrix identifizieren kann. Nun siehst du auch dass jeweils der Input der Funktion die Basisvektoren von \(\mathbb{R}^3\) sind. Na gut, was ist dann also der Basisvektor von \(\mathbb{R}\)...? Ja genau der ist einfach nur 1. Das heisst du kannst nun also die Matri \(Mat(\mathbb{R}^3,\mathbb{R},e)\) berechnen, das ist die Matrix von \(\mathbb{R}^3\) nach \(\mathbb{R}\) in der einheitsbasis \(e\). so wie machen wir das? 
Ja wir bilden zuerst die Bilder der Einheitsbasis also \(L(e_1),L(e_2),L(e_3)\), bzw. das hat man ja für dich schon gemacht, nun schreiben wir diese Bilder ich der basis von \(\mathbb{R}\), dann sieht das so aus
\(L(e_1)=1\cdot 1\)
\(L(e_2)=2\cdot 1\)
\(L(e_3)=3\cdot 1\)

Nun kannst du die Koeffizienten \(1,2,3\) als Matrix aufschreiben, nämlich \(Mat(\mathbb{R}^3,\mathbb{R},e)=(1\,\,\,2\,\,\,3)\). So nun möchtest du nur noch \(L(1,2,3)\) berechnen aber das kannst du ja machen mit \(L(1,2,3)=(1\,\,\,2\,\,\,3)\cdot (1,2,3)^T=14\) und du bist meines erachtens fertig.

Ich hoffe ich habe keinen Denkfehler gemacht, und sonst wird ihn sicher ein anderes Forenmitglied bemengeln. Hoffe du kannst damit was anfangen.
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Es geht sogar noch wesentlich einfacher ohne Abbildungsmatrix. Nutze einfach direkt die Linearität von \(L\) aus. Es gilt $$L((1,2,3))=L((1,0,0)+2\cdot (0,1,0)+3\cdot (0,0,1))=L(1,0,0)+2\cdot L(0,1,0)+3\cdot L(0,0,1)=1+4+9=14$$Wenn du das einmal verinnerlicht hast, kannst du solche Aufgaben sehr schnell im Kopf lösen. Auch ist das ganze nicht so fehleranfällig,  wie eine Abbildungsmatrix zu bestimmen, vorallem,  wenn nicht die Bilder der gewünschten Basisvektoren gegeben sind, sondern von einer anderen Basis. Vom Prinzip ist es aber (fast) der Gleiche Weg wie oben
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oh wow ja an die Linearität hätte ich nun nicht gedacht, sehr elegant!   ─   karate 12.06.2021 um 21:25

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