Die Rechnung ist \(e^{508i\pi}=(e^{2i\pi})^{209}=1^{209}=1\). Deine Rechnung mit Kosinus und Sinus sagt nur, dass der Betrag der Zahl \(1\) ist, was aber nicht reicht, um zu zeigen, dass die Zahl selbst 1 ist.
Was dein Professor meinte, ist, dass man sich die Funktion \(x\mapsto e^{ix}\) so vorstellen kann, als laufe man den Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn mit einer (Winkel-)Geschwindigkeit von \(1\) ab,beginnend in \(1\) Wenn du \(508\pi\) Einheiten entlang des Kreises gelaufen bist, bist du \(209\) mal um den Kreis gelaufen, und kommst wieder da raus, wo du angefangen hast, also bei \(1\). Das ist eine anschauliche Erklärung für die Rechnung.