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Ist \(  e^{i\cdot\pi\cdot508} = 1\), weil 508 ein Vielfaches von 2 ist und man irgendwie über die Periode argumentiert oder weil \( 508\pi \) eine reelle Zahl ist und \( \forall x\in\mathbb{R}  \) gilt: 
$$  \left|e^{ix}\right| = \left|\cos(x)+sin(x)i\right| = \sqrt{\cos^2(x)+\sin^2(x)} = 1 $$ ?
Mein Professor hat gerade nämlich gesagt: "\( 508\pi \) ist ein ziemlich großer Winkel, aber wenn Sie den abgelaufen sind, werden Sie merken, dass Sie gar nichts gelaufen sind, denn das ist ein Vielfaches von \( 2\pi\). Das ist also 1." Das verwirrt mich.
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Die Rechnung ist \(e^{508i\pi}=(e^{2i\pi})^{209}=1^{209}=1\). Deine Rechnung mit Kosinus und Sinus sagt nur, dass der Betrag der Zahl \(1\) ist, was aber nicht reicht, um zu zeigen, dass die Zahl selbst 1 ist.
Was dein Professor meinte, ist, dass man sich die Funktion \(x\mapsto e^{ix}\) so vorstellen kann, als laufe man den Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn mit einer (Winkel-)Geschwindigkeit von \(1\) ab,beginnend in \(1\) Wenn du \(508\pi\) Einheiten entlang des Kreises gelaufen bist, bist du \(209\) mal um den Kreis gelaufen, und kommst wieder da raus, wo du angefangen hast, also bei \(1\). Das ist eine anschauliche Erklärung für die Rechnung.
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