Hallo,

ist $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$, dann heißt eine Teilmenge $U \subseteq V$ Untervektorraum von $V$, wenn

$$U \neq \emptyset,\ u+w \in U,\ \lambda \cdot u \in U$$

für alle $u,w \in U$ und $\lambda \in K$ gilt.

Ich rechne diese Eigenschaften mal exemplarisch für c) vor. Den Rest schaffst du dann allein.

Zu zeigen ist, dass das Bild $\{ f(x) : x \in V \} =: f(V)$ der linearen Abbildung $f\colon V \to V$ ein Untervekorraum von $V$ ist.

Da der Nullvektor $0$ in $V$ ist, ist $f(0) \in f(V)$, also $f(V) \neq \emptyset$. (Das war die erste der drei zu zeigenden Eigenschaften.)

Jetzt nehmen wir uns zwei Vektoren $u,v$ aus $f(V)$ her. (Das geht, da $f(V)$ nicht leer ist.) Es muss $x,y \in V$ geben mit $f(x) = u$  und $f(y) = v.$ Das gilt wegen der Definition von $f(V)$. Jetzt wollen wir zeigen, dass die Summe von $u$ und $v$ auch wieder in  $f(V)$ liegt. Also: 

$$u+v= f(x)+f(y)=f(x+y) \in f(V).$$

Dabei wurde beim zweiten Gleichheitszeichen die Linearität von $f$ benutzt. Damit ist die zweite Eigenschaft gezeigt.

Jetzt nehmen wir uns ein $\lambda \in K$ und zeigen, dass die skalare Multiplikation von $\lambda$ mit $u$ auch in $f(V)$ liegt:

$$\lambda \cdot u = \lambda \cdot f(x) =  f( \lambda \cdot x) \in f(V).$$

Dabei wurde wieder die Linearität von $f$ ausgenutzt. Somit ist auch die dritte Eigenschaft gezeigt.

Fazit: Das Bild eine linearen Abbildung $V \to V$ ist ein Untervektorraum von $V$.

Liebe Grüße
Heraklit