Hallo,

ist \( V \) ein Vektorraum über einem Körper \( K \), dann heißt eine Teilmenge \( U \subseteq V \) Untervektorraum von \( V \), wenn

\[ U \neq \emptyset,\ u+w \in U,\ \lambda \cdot u \in U \]

für alle \( u,w \in U \) und \( \lambda \in K \) gilt.

Ich rechne diese Eigenschaften mal exemplarisch für c) vor. Den Rest schaffst du dann allein.

Zu zeigen ist, dass das Bild \( \{ f(x) : x \in V \} =: f(V) \) der linearen Abbildung \( f\colon V \to V \) ein Untervekorraum von \( V \) ist.

Da der Nullvektor \( 0  \) in \( V \) ist, ist \( f(0) \in f(V) \), also \( f(V) \neq \emptyset \). (Das war die erste der drei zu zeigenden Eigenschaften.)

Jetzt nehmen wir uns zwei Vektoren \( u,v \) aus \( f(V) \) her. (Das geht, da \( f(V) \) nicht leer ist.) Es muss \( x,y \in V \) geben mit \( f(x) = u \)  und \(f(y) = v.\) Das gilt wegen der Definition von \(f(V)\). Jetzt wollen wir zeigen, dass die Summe von \( u \) und \( v \) auch wieder in  \( f(V) \) liegt. Also: 

\[ u+v= f(x)+f(y)=f(x+y) \in f(V). \]

Dabei wurde beim zweiten Gleichheitszeichen die Linearität von \( f \) benutzt. Damit ist die zweite Eigenschaft gezeigt.

Jetzt nehmen wir uns ein \( \lambda \in K \) und zeigen, dass die skalare Multiplikation von \( \lambda \) mit \( u \) auch in \( f(V) \) liegt:

\[ \lambda \cdot u = \lambda \cdot f(x) =  f( \lambda \cdot x) \in f(V). \]

Dabei wurde wieder die Linearität von \( f \) ausgenutzt. Somit ist auch die dritte Eigenschaft gezeigt.

Fazit: Das Bild eine linearen Abbildung \( V \to V \) ist ein Untervektorraum von \( V \).

Liebe Grüße
Heraklit