Gleichungssysteme lösen

Aufrufe: 201     Aktiv: 15.09.2022 um 15:49
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Liebes Forum,
ich habe eine Verständnisfrage zum Lösen von LGS.

Angenommen, man betrachtet ein 2x2 LGS.

Wenn ich das Gleichsetzungsverfahren benutze, ist mir klar, dass ich die bestimmte Variable anschließend in EGAL welche Gleichung einsetzten darf, um die andere Variable zu erhalten (wenn ich z.B. beide Gleichungen nach y gleichstelle und x=2 erhalte, dann ist das die Stelle, an der beide Funktionen den selben y Wert haben. Diesen erhalte ich, indem ich in einer der beiden Gleichungen einsetze). Soweit so gut.

WIESO!!? kann ich mir auch egal welche Gleichung aussuchen, wenn ich das Additionsverfahren verwendet habe. Das kann ich mir einfach nicht erklären, da ich es mir nicht so gut grafisch vorstellen kann.

Also: Angenommen ich erhalte durch das Additionsverfahren x=2. Weshalb kann ich sicher sein, dass das x eingesetzt in beide Gleichungen den selben y-Wert ergibt?

Hoffentlich ist meine Frage klar.

Beste Grüße und Danke!
Lgs
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Punkte: 134

 
nö, es setzt erst gleich, ermittelt damit den Wert der einen Variable und setzt diese dann ein, das ist aber bei jedem Verfahren so, dass man im zweiten Schritt einsetzt.   ─   honda 15.09.2022 um 15:47
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1 Antwort
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ob ich das Problem so ganz verstanden habe, weiß ich nicht ;)

aber zunächst sind ja alle Verfahren gleichwertig. Die Ausgangsgleichungen führen (graphisch gesehen) zum gleichen Schnittpunkt, egal, wie man den ausrechnet. Additions- und Einsetzungsverfahren sind Berechnungsmöglichkeiten, die einfach nicht ganz so leicht graphisch nachvollziehbar sind wie das Gleichsetzen.

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Ok, versuche es nochmal an nein Beispiel:

I -4x+2y=-2
II 4x+2y=-10

Wenn man nun zu II die Gleichung I addiert, dann ist das ja im Prinzip eine äquivalente Umformung ?! weil ich ja auf beiden Seiten das gleiche addiere, nur in einer anderen Form.

II+I: 4y=-12, also y=-3.

Ich stelle mir jetzt vor: Gleichung II (die ich äquivalent umgeformt habe) ist jetzt nur noch abhängig davon, dass y=-3 ist.

Wenn ich jetzt y=-3 in die I. Gleichung einsetze (also in -4x+2y=-2, erhalte ich den zugehörigen x Wert, sodass die 1. Gleichung gelöst wird. Somit werden aber beide Gleichungen gelöst, nämlich:

I: -4x+2y=-2
II+I: y=-3

Da man II+I durch äquivalentes Umformen erhalten hat, ist damit das gesamte LGS gelöst. Soweit, so gut.

Wieso kann ich jetzt aber y=-3 auch in meine ursprünglich II. Gleichung einsetzen (also in: 4x+2y=-10), um x zu ermitteln? Wieso kann ich dann sicher sein, dass das entstandene Wertepaar auch Gleichung 1 löst?

   ─   handfeger0 15.09.2022 um 15:25
Wobei ich natürlich auch einfach die 1. Gleichung verändern kann mit I+II und die II. so lasse.

Dann bekomme ich in der ersten Gleichung: I+II: y=-3 und II: 4x+2y=-10 . Jetzt Ist die obere Gleichung erfüllt, wenn y=-3 und wir ermitteln in der unteren Gleichung, was dann x sein muss.

Ist das die Erklärung?   ─   handfeger0 15.09.2022 um 15:32
warum sollte bei II+I (die Information aus beiden Gleichungen ist zur Lösung enthalten) das Einsetzen in Gleichung I einen anderen Stellenwert bekommen, als das Einsetzen in Gleichung II, oder anders formuliert, warum fragst du nicht, ob du jetzt in I oder in II einsetzen musst?
   ─   honda 15.09.2022 um 15:39
hatte deinen letzten Kommentar noch nicht gesehen, ich glaube ein Knackpunkt ist dabei, dass du denkst, du veränderst eine (oder die andere) Gleichung. Du kombinierst aber eigentlich beide Informationen auf eine sinnvolle Art.   ─   honda 15.09.2022 um 15:43

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