Hier ist eine mögliche Herangehensweise:

Wenn die Spur den Rand nicht schneiden würde, dann würde sie in \( (\partial M)^c \) enthalten sein. Schreibe diese Menge als Vereinigung zweier nicht-leerer disjunkter offener Mengen \(U\) und \(V\).
Da die Spur einer Kurve zusammenhängend ist, folgt dann, dass sie schon ganz in \( U \) oder ganz in \( V \) enthalten sein muss. Hast du die Mengen \(U\) und \(V\) richtig gewählt, folgt daraus ein Widerspruch.

Ich hoffe, das bringt dich ans Ziel.