Zeigen, dass Schnitt von Untervektorräumen ein Teilraum ist

Erste Frage Aufrufe: 27     Aktiv: 15.02.2021 um 16:34

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Man kann zwar a einfach ablesen, aber ich weiß nicht wie ich dies nun zeigen soll.
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Man kann allgemein Nachrechnen, dass für Untervektorräume \(V_1,V_2\) stets \(V_1\cap V_2\) wieder ein Untervektorraum ist. In diesem Fall ist es aber noch sehr viel einfacher: Bei allen Elementen in \(U_2\) verschwindet die dritte Komponente, bei Vektoren in \(U_1\) sind alle Komponenten gleich, also ist \(U_1\cap U_2=\{0\}\). Der triviale Raum ist immer ein Unterraum eines Vektorraums (nichtleer, \(0+0=0\), \(\lambda\cdot 0=0\) für alle \(\lambda\in\mathbb R\)).
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"Bei allen Elementen in U2 verschwindet die dritte Komponente, bei Vektoren in U1 sind alle Komponenten gleich, also ist U1∩U2={0}."
Bin mit Gauß auch darauf gekommen, dass da einfach für alle Skalare 0 rauskommt (habe einfach für beide Räume eine Basis erstellt und gleichgesetzt). Ist das auch der weg, wie man auf den trivialen Raum kommt?
  ─   jeldrik 15.02.2021 um 16:30

Dein Weg ist vollkommen korrekt, es geht nur ein bisschen schneller. Sei \(x=(x_1,x_2,x_3)\in U_1\cap U_2\). Wegen \(x\in U_2\) ist \(x_3=0\). Wegen \(x\in U_1\) folgt dann auch \(x_1=x_2=x_3=0\), also \(x=0\) und \(U_1\cap U_2=\{0\}\).   ─   stal 15.02.2021 um 16:34

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