Wir bestimmen nun den Rand \(\partial A\) von \(A\). Sei \(B:=\{f \in C[0,1] \vert \forall x \in [0,1]:f(x) \ge 0, \exists x_0 \in [0,1]:f(x_0)=0 \} \). Wir zeigen, dass \( \partial A = B \) ist.
Sei \(f \in \partial A\). Da \(A\) abgeschlossen ist, gilt auch \(f \in A\) und somit \(f(x) \ge 0\) für alle \(x \in [0,1]\). Außerdem gilt (per Definition des Randes) für alle \( \varepsilon > 0\), dass \(B_{\varepsilon}(f) \cap A^c \neq \emptyset \). Für ein vorgegebenes \(\varepsilon > 0\) finden wir also ein \(g \in B_{\varepsilon}(f) \cap A^c\). Da insbesondere \(g \in A^c\) ist, existiert ein \(x_0 \in [0,1] \) mit \(g(x_0)<0\). Da außerdem \(g \in B_{\varepsilon}(f)\) ist, gilt
\( f(x_0) - g(x_0) = \vert f(x_0) - g(x_0) \vert \le \| f-g \|_{\infty} = d(f,g) < \varepsilon \) also \(f(x_0) < \varepsilon + g(x_0) < \varepsilon \).
Da diese Ungleichung für alle \(\varepsilon > 0\) erfüllt ist, muss \(f(x_0) \le 0\) sein. Außerdem wissen wir bereits, dass \(f(x) \ge 0\) für alle \(x \in [0,1] \) ist. Ingesamt folgt also \(f(x_0) = 0\) und somit \(f \in B\).
Sei nun \(f \in B\). Es gilt bereits per Definition \(f \in A\) also \( B_{\varepsilon}(f) \cap A \neq \emptyset\) für alle \(\varepsilon > 0\). Es bleibt also noch zu zeigen, dass auch \( B_{\varepsilon}(f) \cap A^c \neq \emptyset\) für alle \(\varepsilon > 0\) ist. Sei dazu ein \(\varepsilon > 0\) gegeben. Wir definieren \(g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) durch \(g(x) = f(x) - \frac{\varepsilon}{2}\). Es gilt offensichtlich \(g \in C[0,1]\). Da \(f \in B\) ist, existiert ein \(x_0 \in [0,1]\) mit \(f(x_0) = 0\). Hieraus folgt \(g(x_0) = - \frac{\varepsilon}{2} < 0\), also \(g \in A^c\). Außerdem ist \(d(f,g) = \| f-g \|_{\infty} = \| \frac{\varepsilon}{2} \|_{\infty} = \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon \), also gilt auch \(g \in B_{\varepsilon}(f)\). Insgesamt erhalten wir \( g \in B_{\varepsilon}(f) \cap A^c\) und somit \( B_{\varepsilon}(f) \cap A^c \neq \emptyset\).