Da sind schon einige Fehler drin, aber prinzipiell kann man das so machen.

1) Die erste Gleichung ist natürlich falsch. Die Reihe ist ja nicht der Quotient aus $a_n$ und $a_{n+1}$. Bitte beim Aufschreiben darauf achten, dass es auch passt. 

2) Direkt nach der ersten Gleichung musst du bei $a_{n+1}$ natürlich die Klammern richtig setzen, wenn du $n+1$ einsetzt: $(2(n+1)+1)!$ ist etwas anderes als $((2n+1)+1)!$. Dasselbe gilt für den Nenner. Im Schritt darauf, hast du dann aber glücklicherweise richtig weitergerechnet. Im Nenner fehlt an einer Stelle die Fakultät. 

3) In der zweiten Zeile hast du dann falsch gekürzt, weil der Zähler falsch ist. Es ist $(2n+2+1)!=(2n+3)!$. Bei dir steht aber etwas völlig anderes da.