Totales Differenzial, prozentiale Änderung berechnen

Aufrufe: 70     Aktiv: 30.12.2021 um 17:24

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Hallo!

Ich habe schwierigkeiten mit folgender Aufgabe:

Ich soll aus der Gleichung $T = 2π\sqrt{LC}$ mittels totalem Differenzial bestimmen, um wie viel sich $T$ prozentuell verändert, wenn
$L$ um 5% verkleinert und
$C$ um 3% vergrößert wird.

Als Hinweis habe ich noch, dass, ausgehend von einem Arbeitspunkt mit den Werten $L_{0}$ und $C_{0}$, zuerst allgemein die absolute Änderung von $T$ berechnet werden soll.

Wenn ich das totale Differenzial der Gleichung berechne, komme ich auf
$T-T_{0}=\frac{πC}{\sqrt{LC}}*(L-L_{0})+\frac{πL}{\sqrt{LC}}*(C-C_{0})$

Mache ich hier etwas komplett falsch? Ich hab keine Anhnung wie ich davon ausgehend die prozentuale Änderung von T berechnen soll...

Über eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!

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2 Antworten
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Für die absolute Änderung ist es etwas besser, wenn man die Schreibweise $\Delta C=C-C_0$ usw. einführt. Dann erhält man nämlich für das totale Differential $\mathrm{d}T=\frac{\pi C}{\sqrt{LC}}\Delta L + \frac{\pi L}{\sqrt{LC}}\Delta C$. Dividiere diesen Ausdruck durch $T=2\pi\sqrt{LC}$ und es vereinfacht sich etwas. Die prozentuale Änderung der Größen ist dann $\frac{\Delta C}{C}$ usw. Diese Ausdrücke wirst du dann in $\frac{\mathrm{d}T}{T}$ wiederfinden und kannst die entsprechenden Werte einsetzen.
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geantwortet

Selbstständig, Punkte: 17.86K

 

Okay danke!
Irgendwie kommt bei mir aber immer noch nicht $-1\text%$ raus...

Ich schreibe also statt $T-T_{0}=\frac{πC}{\sqrt{LC}}*(L-L_{0})+\frac{πL}{\sqrt{LC}}*(C-C_{0})$
das hier: $dT=\frac{πC}{\sqrt{LC}}*\Delta L+\frac{πL}{\sqrt{LC}}*\Delta C$.
(Zwischenfrage: wieso wird aus $T-T_{0}$ ein $dT$ und nicht auch $\Delta T$?)

Dann eben durch $T$ dividieren:
$dT=\frac{πC\Delta L}{\sqrt{LC}}+\frac{πL\Delta C}{\sqrt{LC}}$ dividiert durch $T=2π\sqrt{LC}$ ergibt
$\frac{dT}{T}=\frac{πC\Delta L}{\sqrt{LC}*2π\sqrt{LC}}+\frac{πL\Delta C}{\sqrt{LC}*2π\sqrt{LC}}$

$π$ kürzen:
$\frac{dT}{T}=\frac{C\Delta L}{2LC}+\frac{L\Delta C}{2LC}$

$L$ bzw. $C$ kürzen:
$\frac{dT}{T}=\frac{\Delta L}{2L}+\frac{\Delta C}{2C}$

$\frac{\Delta C}{C}$ sowie $\frac{\Delta L}{L}$ sind die Prozentualen Änderungen von $C$ bzw. $L$, daher setze ich ein:
$\frac{dT}{T}=2*(-0,05)+2*0,03$
$\frac{dT}{T}=-0,04$

Es würden mir also $-4\text%$ rauskommen... Was hab ich jetzt noch falsch gemacht?
  ─   hetg5 30.12.2021 um 13:44

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\(\frac{dT}{T}=\frac{-5\%}{2}+\frac{3\%}{2}=-1\%\)   ─   mathe24 30.12.2021 um 13:53

Ach gott, peinlich........

Aber dann stimmt zumindest der Rest jetzt endlich! Danke!!
  ─   hetg5 30.12.2021 um 13:55

Zu deiner Frage noch: Man kann das totale Differential eben als genau jene Differenz auffassen.   ─   cauchy 30.12.2021 um 17:24

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