Beweis Tangente, Normale

Aufrufe: 110     Aktiv: 18.07.2022 um 15:55

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Liebe Community,

hat jmd zufällig einen anschaulichen BEWEIS dafür,
dass das Produkt aus Tangenten- und Normalensteigung gleich -1 ist.

Vielen Dank im Voraus!
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Punkte: 10

 

Siehe https://www.mathefragen.de/frage/q/029c936579/steigungen-rechtwinklig-zueinander-sind-muss-ihr-produkt-gleich-1-sein-warum-gilt-das-danke/

Ich gehe mal stark davon aus, dass Vektoren noch nicht behandelt wurden.
  ─   cauchy 17.07.2022 um 21:39
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Das liegt daran, dass das Produkt der Steigungen senkrechter Geraden immer minus 1 ist.
Am besten erstellst du eine Skizze und versuchst die Steigungen anhand dieser zu bestimmen.
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Punkte: 185

 

"Das liegt daran, dass das Produkt der Steigungen senkrechter Geraden immer minus 1 ist."

genau dafür brauche ich einen sauberen Beweis, oder zumindest einen Ansatz.
  ─   scienceseb 17.07.2022 um 16:42

Wie gesagt: Erstelle dir eine Skizze mit 2 senkrechten Geraden und bestimme ihre Steigung als Allg Formel durch den mit der x-Achse eingeschlossenen Winkel. Dann wirst du es auch sehen.
Eine anschaulichere Lösung ist auch das Rotieren von Geraden. Mikn hat hierfür schon die Vektorschreibweise angezeigt. Du kannst Geraden rotieren, deren Skalarprodukt bleibt gleich.
Also kannst du die Geraden immer so rotieren, dass sie der |x| Funktion für y>0 gleich sind. Da ist das Steigungsprodukt offensichtlich -1.
  ─   dragonbaron 17.07.2022 um 17:52

Ach ja, weil du BEWEIS geschrieben hast:
Für die Rotation musst du zeigen, dass die Rotationsmatrix (oder eine aus SO(2)) das Skalarprodukt nicht ändert.
Sonst verweise ich auf Mikn, dort das Skalarprodukt 0 setzen (ist leichter) aber weniger anschaulich.
  ─   dragonbaron 17.07.2022 um 17:54

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Wir sind also im $\mathbb{R}^2$. Ein Vektor mit der (1d-) Steigung $a$ ist $\binom{1}a$ (notfalls Skizze, falls das nach einer Neuigkeit klingt).  Sei die gesuchte dazu senkrechte Steigung $b$, also entsprechend dem Vektor $\binom{1}b$. Benutze nun, dass zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen genau dann wenn deren Skalarprodukt 0 ergibt.
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Lehrer/Professor, Punkte: 26.65K

 

Ich glaube mich zu erinnern das die gleiche Frage bereits vor 3-4 Wochen gestellt wurden war und diese auch (wenn ich mich richtig erinnere) durch karate mühevoll aufgeschrieben und gut erklärt beantwortet wurde. Vielleicht findet jemand diese Frage, bei mir auf dem Handy spinnt leider die Suchfunktion der Seite gerade.   ─   maqu 17.07.2022 um 21:27

Guter Hinweis, maqu.
https://www.mathefragen.de/frage/q/6dc5f144d8/kann-mir-jemand-erklaren-warum-die-steigung-von-der-tangente-mal-die-steigung-von-der-normalen-1/
  ─   mikn 17.07.2022 um 21:37

Das Lob für die gute Antwort möchte ich aber dann jetzt doch (durch falsche Annahme) noch an joergwausw aussprechen😅👍   ─   maqu 17.07.2022 um 21:43

https://www.mathefragen.de/frage/q/029c936579/steigungen-rechtwinklig-zueinander-sind-muss-ihr-produkt-gleich-1-sein-warum-gilt-das-danke/   ─   dragonbaron 18.07.2022 um 15:47

@dragonbaron ist bereits gestern hier verlinkt worden (s.o. Kommentar unter der Frage).   ─   mikn 18.07.2022 um 15:55

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