Permutationsgruppe - Untergruppe

Aufrufe: 24     Aktiv: 24.06.2021 um 11:22

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Hallo, ich hätte eine Frage, bzw. ein Verständnisproblem, ich lese und höre immer überall, dass die Permutationsgruppe die Obergruppe aller anderen Untergruppen sei, wie z.B. auch hier https://www.uni-muenster.de/Physik.TP/archive/fileadmin/lehre/teilchen/ss15/Permutationsgruppe.pdf ; gibt es irgendeinen Grund, weshalb das so ist, bzw. wie man das anhand eines Beispiels verstehen kann, allenfalls erben ja die Untergruppen die Inversen und Neutralen Elemente, das Neutrale wäre ja bspw die identische Abbildung, es übersteigt daher meinen Geist zu verstehen, warum die Sn (Symmetrische, Permutationsgruppe), Obergruppe, aller anderen Gruppen ist

Vielen Dank euch :)
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Erstmal ist sie nicht Obergruppe aller Gruppen, sondern nur von allen endlichen Gruppe, ergibt ja auch Sinn, weil sie selber nur endliche viele Elemente hat. Man kann sagen, dass diese Obergruppe aller endlichen Gruppen ist, da eine Gruppe \(G\) mit \(n\) Elementen isomorph zur symmetrischen Gruppe \(S_n\) ist. Dies bedeutet, dass es einen Isomorphismus von \(G\) nach \(S_n\) gibt, das ganze ist einfach nur ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.
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