Injektivität um eine umgebung U

Aufrufe: 225     Aktiv: 09.10.2023 um 16:26

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Hallo, weiß jemand wie man bei Aufgabe b) zeigt, dass die Funktion um eine Umgebung U von 0 nicht injektiv ist? Mir fällt da leider nichts mehr zu ein.
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Wenn man das Bild der Funktion anschaut, sieht man, dass immer wieder (zu jeder noch so kleinen Umgebung  $U$ von $0$) ein $y$-Wert existiert (hier z.B. $y=0.039$), zu dem es zwei verschiedene Werte  $x_1,x_2\in U$  mit  $f(x_1)=f(x_2)=y$  gibt.
Also sollte es möglich sein, die Annahme, es gäbe eine Umgebung $U$ mit ..  (s.o.)  zu einem Widerspruch zu führen.
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Nehmen wir mal eine beliebige Umgebung \( U \) der Null. Wir können nun ein \( n \in \mathbb{N} \) finden, sodass das Intervall \( [0,\frac{1}{2 \pi n}] \) ganz in \( U \) liegt.

Man rechnet leicht nach, dass
\( f(\frac{1}{2 \pi n}) = \frac{1}{4 \pi n} \)
und
\( f(\frac{1}{2 \pi n + \pi/2}) = \frac{1}{4 \pi n + \pi} + \frac{4}{(4 \pi n + \pi)^2} \) \( = \frac{1}{4 \pi n + \pi} + \frac{16 \pi n}{4 \pi n (4 \pi n + \pi)^2} \) \( > \frac{1}{4 \pi n + \pi} + \frac{\pi (4 \pi n + \pi)}{4 \pi n (4 \pi n + \pi)^2} \) \( = \frac{1}{4 \pi n} \)
ist.

Mit dem Zwischenwertsatz lässt sich damit zeigen, dass \( f \) auf \( U \) nicht injektiv sein kann.
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