Es gibt hier doch keine Insider-Tricks. Eine Formel oder ein Satz ist anwendbar, wenn seine Vorausetzungen erfüllt sind. Das muss man halt im konkreten Fall prüfen.
Die CIF ist ja auch "nur" ein Spezialfall des Residuensatz, dort geht es um eine Integrandenfunktion von spezieller Gestalt. Wenn die gegeben ist (mitsamt gewissen Eigenschaften), dann kann die CIF angewandt werden. Aber der RS eben auch.
Und ein "benutzen muss" gibt es in der Mathematik auch nicht (sicherheitshalber: nur selten). Es gibt oft mehrere Wege.