Komplexe Zahlen, Zahlenebene, Intervall

Aufrufe: 35     Aktiv: 28.04.2021 um 16:10

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Den ersten Teile habe ich mal. Beim zweiten habe ich mal einen Versuch unternommen das Ganze zeichnerisch darzustellen, wobei ich gar keine Ahnung habe wie ich das mathematisch angehen soll. Ich bitte um Hilfe!
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Es gilt \( \cap_{n \in \mathbb{N}} I_n = \{ 0 \} \). Damit folgt

\( z \in B = \cap_{n \in \mathbb{N}} B_n \) 
\( \Leftrightarrow z \in B_n \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) 
\( \Leftrightarrow Re(z) + Im(z) \in I_n \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) 
\( \Leftrightarrow Re(z) + Im(z) \in \cap_{n \in \mathbb{N}} I_n \) 
\( \Leftrightarrow Re(z) + Im(z) = 0 \) 
\( \Leftrightarrow (Re(z),Im(z)) = (r,-r) = r \cdot (1,-1) \) für ein \( r \in \mathbb{R} \) 
\( \Leftrightarrow \) \( (Re(z),Im(z)) \) liegt auf der Ursprungsgeraden durch den Punkt \( (1,-1) \)

Außerdem gilt

\( z \in B_n \)
\( \Leftrightarrow Re(z) + Im(z) \in I_n = ( - \frac{1}{n}, \frac{1}{n} ) \)
\( \Leftrightarrow -Re(z)-\frac{1}{n} < Im(z) < -Re(z)+\frac{1}{n} \) 
\( \Leftrightarrow ( Re(z), Im(z) ) = (r,-r+k) = (0,k) + r \cdot ((1,-1+k) - (0,k)) \) für ein \( r \in \mathbb{R} \) und ein \( k \in ( - \frac{1}{n}, \frac{1}{n} ) \)
\( \Leftrightarrow ( Re(z), Im(z) ) \) liegt auf der Geraden durch die Punkte \( (1,-1+k) \) und \( (0,k) \) für ein \( k \in ( - \frac{1}{n}, \frac{1}{n} ) \)
(Es handelt sich hier um eine Schar von Geraden, die einen (offenen) Streifen um die Ursprungsgerade durch \( (1,-1) \) ergibt. Man kann also in gewisser Weise sagen, dass die \( B_n \) Streifen um die Gerade \(B\) sind, die für größere \(n\) immer schmaler werden.)

Ich hoffe, dass du damit jetzt eine Vorstellung davon hast, wie die Skizze aussehen sollte.
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Danke erstmal! Ich werd mich jetzt, damit auseinandersetzen.   ─   mathespaß 28.04.2021 um 16:10

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