Es soll \(u(R_1,\phi)=f(\phi)\) gelten.

\(u(R_1,\phi) = a_0+ b_0\ln R_1 +\sum..... \) (oben abschreiben, r durch R1 ersetzen). Das ist offensichtlich die Fourier-Reihe von \(u(R_1,\phi)\). Das soll also  \(=f(\phi)\), was wir auch als F-R schreiben: \(f(\phi)=e_0+\sum\limits_{n=1}^\infty f_n\cos(n\phi)+g_n\sin(n\phi)\), wobei e0, fn, gn die F-Koeffizienten von \(f(\phi)\) sind (Formelsammlung!).

Für Gleichheit müssen die jeweiligen Koeffizienten übereinstimmen (Koeffizientenvergleich!), also

\(a_0+ b_0\ln R_1 =e_0\) und \(a_nR_1^n+b_nR_1^{-n}=f_n\) usw.. Einsetzen der Formel für die F-Koeffizienten von \(f\) führt genau auf die in der Lösung angegebenen Formeln. Zu rechnen ist dabei also absolut nichts, nur ablesen und Formeln raussuchen.

Das zweite mit R_2 und g ist dasselbe in grün.