Normeigenschaften nachweisen

Erste Frage Aufrufe: 1053     Aktiv: 11.07.2019 um 18:20

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Servus miteinander,

Ich möchte zeigen, dass \( \phi (x)= \sqrt{x^{T} Px} \) für \( P \in \mathbb{R}^{d \times d} \) symmetrisch und positiv definit eine Norm auf \( \mathbb{R}^{d \times d} \) definiert. Ich hab bereits gezeigt, dass \( \phi \) definit und homogen ist, jedoch macht mir die Dreiecksungleichung Probleme.

Es ist also noch zu zeigen, dass \( \sqrt{(x+y)^{T} P (x+y)} \leq \sqrt{x^{T} P x}+\sqrt{y^{T} P y} \) ist. Ich habe den linken Ausdruck bereits wie folgt umgeformt:

\( \sqrt{(x+y)^{T}P(x+y)}  = \sqrt{x^{T} P x + y^{T} P x + x^{T} P y + y^{T} P y}\)

Nun komm ich jedoch nicht weiter. Ich habe bisher nicht nicht ausgenutzt, dass P symmetrisch ist. Mit der Eigenschaft hab ich ein wenig rumprobiert, jedoch war das bisher nicht zielführend. Hat jemand vielleicht einen kleinen Tipp für mich? - Ich stehe ziemlich auf dem Schlauch.

 

PS: Ich weiß, dass \( <x,y>=x^{T} Py \) ein Skalarprodukt ist, das die Norm \( \phi \) induziert. Ich würde die Aufgabe aber gern ohne dieses Wissen lösen.

 

Grüße

Chrometheus

 

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Guten Abend,

das Stichwort sollte die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung sein. Mithilfe dieser Abschätzung gilt für die Mischterme \(x^T P y + y^T P x = 2 \cdot x^T P y \leq 2 \cdot \sqrt{x^T P x} \cdot \sqrt{y^T P y}\). Nun kann man mittels der binomischen Formel in der gesamten Gleichung zusammenfassen und die Wurzel auf beiden Seiten ziehen.

Aufgrund Deiner bisherigen Ausführungen glaube ich, dass Dir das als Hilfe genügt. Meld Dich gern, wenn Du noch einen Anstoß brauchst. :)

 

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