Servus miteinander,

Ich möchte zeigen, dass \( \phi (x)= \sqrt{x^{T} Px} \) für \( P \in \mathbb{R}^{d \times d} \) symmetrisch und positiv definit eine Norm auf \( \mathbb{R}^{d \times d} \) definiert. Ich hab bereits gezeigt, dass \( \phi \) definit und homogen ist, jedoch macht mir die Dreiecksungleichung Probleme.

Es ist also noch zu zeigen, dass \( \sqrt{(x+y)^{T} P (x+y)} \leq \sqrt{x^{T} P x}+\sqrt{y^{T} P y} \) ist. Ich habe den linken Ausdruck bereits wie folgt umgeformt:

\( \sqrt{(x+y)^{T}P(x+y)}  = \sqrt{x^{T} P x + y^{T} P x + x^{T} P y + y^{T} P y}\)

Nun komm ich jedoch nicht weiter. Ich habe bisher nicht nicht ausgenutzt, dass P symmetrisch ist. Mit der Eigenschaft hab ich ein wenig rumprobiert, jedoch war das bisher nicht zielführend. Hat jemand vielleicht einen kleinen Tipp für mich? - Ich stehe ziemlich auf dem Schlauch.

PS: Ich weiß, dass \( <x,y>=x^{T} Py \) ein Skalarprodukt ist, das die Norm \( \phi \) induziert. Ich würde die Aufgabe aber gern ohne dieses Wissen lösen.

Grüße

Chrometheus