(Twitter)
0
A={a0,…,aN} ist eine nichtleere endliche Menge und B eine abzählbar unendliche Menge. Zeigen Sie, dass A U B abzählbar unendlich ist.
Betrachten Sie zu einer gegebenen Abbildung g:N(natürliche Zahlen) ––>B die Abbildung f:N (natürliche Zahlen) ––>A U B mit
f(n):= {an, für n=0,1,...,N
{g(n-(N+1)).
mein Ansatz: zeigen, dass f(n) bijektiv ist, sodass |A U B| =|N| gelten würde. Allerdings weiß ich nicht, wie ich dies zeigen soll.
Diese Frage melden
gefragt
alex356
Punkte: 10
Punkte: 10
Man könnte versuchen zu zeigen, dass $f$ injektiv und surjektiv ist. "surjektiv" ist relativ einfach, also fang an und lade Deine Ergebnisse und Überlegungen hier hoch (oben "Frage bearbeiten"). "injektiv" wird dieses $f$ nicht zwingend sein (überleg Dir das).
─
mikn
03.12.2023 um 00:02
Crosspost mit Mathelounge
─
mikn
03.12.2023 um 01:23
Du hast Dein f so konstruiert, dass die Menge A zuerst abgezählt wird.
Um f injektiv (und damit bijektiv) zu machen, sollte man stattdessen zuerst die Menge \(C=A \setminus B\) abzählen.
C und B sind dann disjunkt, und ein \(y\in A \cup B\) ist dann ENTWEDER aus C oder aus B. ─ m.simon.539 03.12.2023 um 11:10
Um f injektiv (und damit bijektiv) zu machen, sollte man stattdessen zuerst die Menge \(C=A \setminus B\) abzählen.
C und B sind dann disjunkt, und ein \(y\in A \cup B\) ist dann ENTWEDER aus C oder aus B. ─ m.simon.539 03.12.2023 um 11:10