Untervektorräume und orthogonale Komplemente

Aufrufe: 684     Aktiv: 17.06.2020 um 10:35
0

Hallo liebe Community,

Ich brauche mal wieder Hilfe in meiner geliebten Linearen Algebra. Ich verzweifle diesmal bei dieser Aufgabe sowohl bei a, als auch bei b. Eines meiner Probleme ist sich die lineare Abbildung vorzustellen, da ich nicht weiß was genau ich worauf abbilde. Ansonsten fällt mir aktuell auch kein direkter Ansatz zur Lösung ein :/ Bei a) habe ich mir nur gedacht, dass U-senkrecht ja im Kern liegen muss, da alle Vektoren aus U-senkrecht mit denen aus U ja den Nullvektore bzw. 0 ergeben. Aber ich weiß nicht ob mir das was für den Beweis bringt ^^

Ich hoffe ich finde hier jemanden, der mir einen Ansatz oder einen Beweis dafür geben kann :)

 

LG

Diese Frage melden
gefragt

Student, Punkte: 138

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1

Deine Idee ist ein guter Anfang. Sei \(b_1,\ldots, b_k\) eine Basis für \(U\). Bilde dann

die Matrix \(A = (b_1,\ldots,b_k)\). Die \(k\times n\) Matrix \(A^T\) hat dann die \(b_i\) als Zeilen.. Dann gilt \(x\in kern(A^T) \iff A^T x = 0 \iff b_i\cdot x = 0\) für alle \(i\) \(\iff x\in U^\perp\).

Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K

 
Hey,
Vielen Dank erstmal für deine Antwort :) Die Matrix meines Untervektorraums U besteht also quasi aus den Vektoren b1, ... bk und die transponierte Matrix meines Untervektorraums hat die bi also als Zeilen dieser Matrix? Soweit so gut. Und jetzt erfüllt jeder Vektor aus meiner transponierten Matrix automatisch die Voraussetzung, dass bi * x = 0 ist und ist folglich im Kern? Gilt es da noch etwas zu zeigen oder wäre das der vollständige Beweis wie du ihn oben formuliert hast? Ansonsten macht der Beweis für mich auf jeden Fall Sinn soweit ^^
Hättest du noch eine Idee wie ich b) lösen könnte?   ─   peterneumann 15.06.2020 um 16:13
Vielen Dank für deine Antwort :)
Ich glaube ich habe es jetzt verstanden und werde mich morgen dransetzen alles zusammenzusetzen und aufzuschreiben :D

LG   ─   peterneumann 16.06.2020 um 23:37

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.