Ich würde es folgendermaßen machen:

Man kann sich zunächst induktiv überlegen, dass für \( n \ge 1 \) die Abschätzung \( \frac{4}{3} \le a_n \le \frac{3}{2} \) gilt.

Dann überlegt man sich, dass die Funktion \( f(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{x} \) auf \( \left[ \frac{4}{3}, \frac{3}{2} \right] \) die Ungleichung
\( \vert f(x)-f(y) \vert \) \( = \vert \frac{xy-2}{2xy} \vert \vert x-y \vert \) \( \le \frac{9}{128} \vert x-y \vert \)
erfüllt. Sie ist also Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante \( q = \frac{9}{128} \).

Damit erhält man nun für \( n \ge 2 \) die Abschätzung
\( \vert a_{n+1} - a_n \vert \) \( = \vert f(a_n) - f(a_{n-1}) \vert \) \( \le q \vert a_n - a_{n-1} \vert \)

Induktiv kann man nun für \( n \ge 2 \) folgern
\( \vert a_{n+1} - a_n \vert \) \( \le q^{n-1} \vert a_2 - a_1 \vert \)

Und damit gilt nun für \( m > n \ge N \ge 2 \)
\( \vert a_m - a_n \vert \) \( = \vert \sum_{k=n+1}^m a_k - a_{k-1} \vert \) \( \le \sum_{k=n+1}^m \vert a_k - a_{k-1} \vert \) \( \le \sum_{k=n+1}^m q^{k-1} \vert a_2 - a_1 \vert \) \( = \vert a_2 - a_1 \vert \sum_{k=n+1}^m q^{k-1} \) \( \vert a_2 - a_1 \vert \left( \sum_{k=0}^{m-1} q^k - \sum_{k=0}^{n-1} q^k \right) \) \( = \vert a_2 - a_1 \vert \left( \frac{1-q^m}{1 - q} - \frac{1 - q^n}{1 - q} \right) \) \( = \vert a_2 - a_1 \vert \frac{q^n - q^m}{1-q} \) \( \le \vert a_2 - a_1 \vert \frac{q^N}{1-q} \)

Wegen \( \vert q \vert < 1 \) gilt \( \vert a_2 - a_1 \vert \frac{q^N}{1-q} \to 0 \) für \( N \to \infty \) und somit folgt, dass \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}_0} \) eine Cauchy-Folge ist.