Wurzel aus i - wo mache ich den Fehler ?

Aufrufe: 211     Aktiv: 13.11.2023 um 22:35

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Im Internet findet man unzählige Lösungen zum Thema:
"Wurzel aus i (imaginäre Zahl 1)"
Alle diese Lösungen packen das Thema mit i = a+b*i an.
Ich wollte das aber mit Polarkoordinaten, also i = r*e^(i*theta) anpacken.
Leider bekomme ich nur eine von zwei Lösungen dabei raus und
Wolfram Alpha scheint mich darin zu bestätigen:

Wo mache ich den Denkfehler ?

EDIT vom 13.11.2023 um 22:33:

Der Denkfehler ist die Periodizität, die durch ^1/2 natürlich halbiert wird und
damit zwei Lösungen innerhalb von 2*pi liefert (besten Dank an ):

EDIT vom 13.11.2023 um 22:35:

mikn
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1 Antwort
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Erstmal sollte man das Wurzelzeichen nicht mit nicht-reellen Radikanden verwenden.
Die fehlende zweite Lösung kommt aus der Periodizität. Denn allgemein ist
$i=e^{i(\frac\pi2+2k\pi)}$ bei beliebigem $k\in Z$. Die Halbierung des Winkels führt zu $\theta=\frac\pi4+k\pi$, was eben zwei verschiedene Lösungen liefert, einmal für $k=0$ und einmal für $k=1$. Letzere liefert wg $e^{i\pi}=-1$ die Variante mit dem anderen Vorzeichen. Für andere $k$'s kommen keine weiteren Lösungen raus (das ist anders bei dritten, vierten,... Wurzeln).
Daher ist es gut die Hintergründe zu kennen, denn wolframalpha liefert nur eine Lösung.
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Hallo mikn

Naja, die Frage nach i als Radikand kommt halt öfter vor ...
Ich hatte die Periodizität mit n*2*pi als Identität falsch interpretiert.
Durch ^1/2 wird sie ja halbiert und damit kommen die beiden Resultate raus.
Besten Dank für den Hinweis.
  ─   knollwicht 13.11.2023 um 22:08

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