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Erstmal sollte man das Wurzelzeichen nicht mit nicht-reellen Radikanden verwenden.
Die fehlende zweite Lösung kommt aus der Periodizität. Denn allgemein ist
$i=e^{i(\frac\pi2+2k\pi)}$ bei beliebigem $k\in Z$. Die Halbierung des Winkels führt zu $\theta=\frac\pi4+k\pi$, was eben zwei verschiedene Lösungen liefert, einmal für $k=0$ und einmal für $k=1$. Letzere liefert wg $e^{i\pi}=-1$ die Variante mit dem anderen Vorzeichen. Für andere $k$'s kommen keine weiteren Lösungen raus (das ist anders bei dritten, vierten,... Wurzeln).
Daher ist es gut die Hintergründe zu kennen, denn wolframalpha liefert nur eine Lösung.
Die fehlende zweite Lösung kommt aus der Periodizität. Denn allgemein ist
$i=e^{i(\frac\pi2+2k\pi)}$ bei beliebigem $k\in Z$. Die Halbierung des Winkels führt zu $\theta=\frac\pi4+k\pi$, was eben zwei verschiedene Lösungen liefert, einmal für $k=0$ und einmal für $k=1$. Letzere liefert wg $e^{i\pi}=-1$ die Variante mit dem anderen Vorzeichen. Für andere $k$'s kommen keine weiteren Lösungen raus (das ist anders bei dritten, vierten,... Wurzeln).
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 40.02K
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Naja, die Frage nach i als Radikand kommt halt öfter vor ...
Ich hatte die Periodizität mit n*2*pi als Identität falsch interpretiert.
Durch ^1/2 wird sie ja halbiert und damit kommen die beiden Resultate raus.
Besten Dank für den Hinweis. ─ knollwicht 13.11.2023 um 22:08