Kombinatorik - Verteilung von Pizzen auf zwei Personen

Aufrufe: 313     Aktiv: 15.06.2022 um 16:52

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Hallo zusammen,

ich arbeite aktuell an einer Aufgabe die wie folgt aussieht:

"Sie sind Pizzalieferant und müssen für zwei Kunden ausliefern. Sie haben 13 Pizzen dabei, davon jeweils 4x Tonno, 7x Salami und 2x Margherita, allerdings haben Sie vergessen, welche Pizzen an welchen Kunden verteilt werden müssen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 13 Pizzen auf die zwei Kunden zu verteilen?"

Ich bin jetzt ein wenig überfragt, wie ich an das ganze herangehen soll. Ich vermute, dass n = 13 ist, da das unsere Gesamtmenge an Elementen ist. Allerdings weiß ich nicht, was ich für k einsetzen soll. Vorallem haben die einzelnen Pizzen jetzt Eigenschaften, d.h. die müssen auch irgendwie unterschieden werden.

Ich bin mir auch nicht sicher, ob es sich hier um den Fall handelt "Ohne zurücklegen, ohne Reihenfolge" oder "Ohne zurücklegen, mit Reihenfolge", da es ja schon wichtig zu Wissen ist, was der erste Kunde bekommt.

Ich hoffe mir kann jemand einen Hinweis geben, wie ich an das ganze rangehen soll.

Gruß

Edit: Theoretisch gibt es die Möglichkeiten:

1. Kunde bekommt 1x Pizza und der 2. Kunde bekommt 12x Pizza = (13 über 1) * (13 über 12)
1. Kunde bekommt 2x Pizza und der 2. Kunde bekommt 11x Pizza = (13 über 2) * (13 über 11) usw.

Da fehlt aber dann die Unterscheidung der einzelnen Eigenschaften. Kann man da vielleicht mit der Wahrscheinlichkeit arbeiten, sprich 2/13 Magherita, 4/13 Tonno usw.?

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Gibt es wirklich niemanden der mir hierbei helfen könnte?   ─   usera8a3f1 14.06.2022 um 14:07
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1 Antwort
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Man hat also $T=4$ Tonno, $S=7$ Salami und $M=2$ Margherita Pizzen mit.
Für die Auslieferung an den ersten Kunden kann man also eine Zahl von 0 bis 4 für $T_1$, eine Zahl von 0 bis 7 für $S_1$ und eine Zahl von 0 bis 2 für $M_1$ aussuchen, um alle Möglichkeiten zu berechnen, was der Kunde1 bekommt.

Eventuell kann man von der berechneten Anzahl der Möglichkeiten dann noch 2 abziehen, weil die Möglichkeiten "Kunde1 kriegt alles, Kunde2 nichts" und "Kunde2 kriegt alles, Kunde1 nichts" nicht so realistisch sind. ;-)

Deutlich schwieriger wäre es, wenn die Gesamtzahl der Pizzen festgelegt wäre, die jeder Kunde insgesamt bekommen soll.
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Aber wie soll ich z.B. die Möglichkeit für den „ersten Durchlauf“ berechnen?

Sprich wir haben den Fall:
Kunde 1 bekommt eine Pizza, Wir haben die Möglichkeit (4 über 1)+(7 über 1) + (2 über 1) = 13 Möglichkeiten
bzw.
Kunde 2 bekommt 12 Pizzen, also (4 über 4) + (7 über 6?) + (2 über 2).. jetzt habe ich hier das Problem, dass ich gar nicht weiß welche Pizza Kunde 1 bekommt.
  ─   usera8a3f1 10.06.2022 um 19:39

Tut mir leid, ich verstehe deinen Kommentar nicht. Was ist hier ein "Durchlauf"? meinst du die Auslieferung an den ersten Kunden?

Des weiteren gehe ich davon aus, dass die Pizzen eines Typs nicht "unterscheidbar" sind.

Wenn also Kunde1 2·$T$, 0·$S$ und 0·$M$ bekommt, dann geht das nur auf eine Weise - welche 2 von den 4 $T$ er nun bekommt, ist nicht unterscheidbar.
  ─   mathe42 10.06.2022 um 20:48

Tut mir leid, vergessen wir das mit dem Durchlauf.

Ich verstehe die Theorie hinter deinem Ansatz, allerdings weiß ich nicht, wie ich die in die Praxis rechnerisch umsetzen soll.

Ich weiß einfach nicht, wie ich die Faktoren "Kunde 1 und Kunde 2" und "Pizza Tonno, Margherita und Salami" bei der Berechnung unterscheiden soll. Vorallem weil es von den verschiedenen Pizzaarten es auch noch unterschiedlich viele gibt.

  ─   usera8a3f1 13.06.2022 um 16:52

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Die Kunden musst du gar nicht unterscheiden, denn wenn du weißt, welche Pizzen Kunde 1 bekommt, ist ja damit automatisch festgelegt, welche Pizzen Kunde 2 bekommt. Du musst also nur berechnen, auf wie viele verschiedene Weisen du die 13 Pizzen zusammenstellen kannst. Kommst du damit weiter?   ─   cauchy 14.06.2022 um 21:10

Nach der Aussage bin ich auf die Vorgehensweise gekommen:
Alle Möglichkeiten
- Kunde1 bekommt eine Pizza = (4 über 1) + (7 über 1) + (2 über 1) = 13 Möglichkeiten
- Kunde1 bekommt zwei Pizzen = (4 über 2) + (7 über 2) + (2 über 2) + (4 über 1)*(7 über 1) + (4 über 1)*(2 über 1) + (7 über 1)*(2 über 1) = 181
- Kunde1 bekommt drei Pizzen = (4 über 3) + (7 über 3) + (2 über 2)*(7 über 1) + (2 über 2)*(4 über 1) + (4 über 2)*(7 über 1) + (4 über 2)*(2 über 1) + (7 über 2)*(4 über 1) + (7 über 2)*(2 über 1) + (2 über 2)*(4 über 1) + (2 über 2)*(7 über 1) + (4 über 1)*(7 über 1)*(2 über 1) = ...

Ich bin mir nicht sicher, ob das der richtige Weg ist, aber es müsste eig. jede mögliche Pizzaverteilung soweit darstellen.

Problem ist, die Aufgabe ist Prüfungsrelevant, daher muss ich irgendwie den Weg zur Lösung verstehen.
  ─   usera8a3f1 15.06.2022 um 11:16

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Der Ansatz ist falsch. Oben wurde doch schon gesagt, dass die Pizzen einer Sorte NICHT unterschieden werden. Das heißt, wenn Kunde 1 eine Pizza bekommt, dann bekommt er eine Tonno, Salami oder Margherita. Das sind also nur 3 Möglichkeiten.   ─   cauchy 15.06.2022 um 15:04

Mittlerweile bin ich auf den Ansatz gestoßen:

(13 über 2) - Wir schauen, wie viele Möglichkeiten es gibt, die 13 Pizzen auf 2 Kunden zu verteilen.
  ─   usera8a3f1 15.06.2022 um 15:24

Ja, das ist die Aufgabe. Hat aber nichts mit $13\choose 2$ zu tun. Denn das bedeutet ja nur, wie viele Möglichkeiten es gibt, 2 von 13 auszuwählen.   ─   cauchy 15.06.2022 um 16:13

Es tut mir leid, aber ich bin total auf dem Holzweg und habe wirklich gar keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.   ─   usera8a3f1 15.06.2022 um 16:28

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Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass Kunde 1 keine Pizza bekommt? - Eine, denn dann bekommt alle Kunde 2.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass Kunde 1 eine Pizza bekommt? - Drei. Tonno, Salami oder Margherita.
Wie ... zwei Pizzen bekommt? - Entweder TT, TS, TM, SS, SM, MM, also 6.
usw.

Vorgehen jetzt klar? Man muss sich das erstmal klar machen. DANN kann man überlegen, ob man Formeln oder so kennt, um an diese Kombinationen zu kommen.
  ─   cauchy 15.06.2022 um 16:52

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