Muss für eine Tautologie nicht jede Belegung wahr sein?

Erste Frage Aufrufe: 620     Aktiv: 09.01.2022 um 18:54

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Definition: (

Sei S={F1,...,Fm} eine Menge von Formeln.

Man sagt, dass G aus S folgt falls die Formel:

eine Tautologie ist. Das heißt für allle Belegungen b von S gilt, dass S(b)=1 aus F1(b)=...=Fm(b)=1 folgt.

Jetzt sage ich S sei:

S={X1-->X2,X1 xor X2}

Und daraus sei jetzt z. B. eine Folgerung von S, G=X1 v X2, ist da für die Belegung (0,1) (0=falsch, 1 = wahr) die Formelmenge erfüllt wird.

)

Also man hat eine Belegung gefunden, wo die Menge erfüllt wird und dann hat man zu der Belegung ein G gesucht, was weiterhin zu wahr führen würde.

Meine Frage ist:

Warum passt das mit der Definition, ich dachte immer eine Tautologie sei etwas, wo für jede Belegung der Fall wahr ist für S={X1-->X2,X1 xor X2} haben wir doch nur den Fall (0,1) als wahre bedingung?

Die restliochen Bedingungen sind doch alle false, nach der Definition hat man nur eine Folgerung, wenn wir eine Tautologie haben, das heißt ja das S={X1-->X2,X1 xor X2} eine Tautologie sein müsste, aber das passt ja nicht, da nur eine Bedingung zu wahr führt?

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Da steht ja eine Implikation und die ist immer war, wenn die linke Seite falsch ist.
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Student, Punkte: 10.87K

 

Okay danke, aber was genau heißt eigentlich folgen, also das G aus F folgt? Was ist damit gemeint, dass F G impliziert?   ─   mikrokjaro0 09.01.2022 um 18:31

G folgt aus S heißt, dass wenn S war ist auch G war ist. S impliziert also G. Der Formelle Unterschied zur Implikation ist nur, dass S eine Menge von Aussage ist.   ─   mathejean 09.01.2022 um 18:34

G ist aber auch war unter dieser Belegung   ─   mathejean 09.01.2022 um 18:36

Genau, das war mir klar. Aber warum nennt man sowas eine Tautologie. S ist für 0,1 (falsch,wahr) wahr. Das heißt weil ich eine Implikation habe, dass G auch wahr sein muss.

Das heißt für dei Belegung (falsch,wahr) habe ich eine wahre Aussage mit G, wenn G auch wahr ist.

Aber wo ist das eine Tautologie? Meine Formelmenge ist ja nur für die Belegung (0,1), also (falsch,wahr) erfüllt?

Weil die Definition spricht ja von einer Tautologie.
  ─   mikrokjaro0 09.01.2022 um 18:36

Die Tautologie bezieht sich auf die gesamte Implikation, nicht nur auf G oder S   ─   mathejean 09.01.2022 um 18:37

Genau, aber dann habe ich ja keine Tautologie. Wenn ich sage ich habe eine gesamte Tautologie auf der Implikation, dann müsste ja die Formelmenge für jede Belegung erfüllbar sein und G implizieren oder nicht?   ─   mikrokjaro0 09.01.2022 um 18:39

In deinem Beispiel ist aber jede Belegung war   ─   mathejean 09.01.2022 um 18:41

ach stimmt lol, wenn meine formelmenge 0 ist, ist ja egal was folgt wahr. Ich Idiot ...   ─   mikrokjaro0 09.01.2022 um 18:43

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@zest ja danke   ─   mathejean 09.01.2022 um 18:43

Aber eine Frage hätte ich doch noch, du hast oben geschrieben, dass eine FOlgerung sei, dass wenn S wahr ist auch G wahr sei, also S impliziere G. Das heißt immer wenn S wahr ist, muss auch G wahr sein. Aber S kann ja auch falsch sein, nur dann ist es egal was G ist oder? Weil die Implikation sowieso immer wahr ist   ─   mikrokjaro0 09.01.2022 um 18:48

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Genau   ─   mathejean 09.01.2022 um 18:54

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