Ungleichungen lösen: darf man potenzieren?

Erste Frage Aufrufe: 23     Aktiv: 22.04.2021 um 15:58

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Ich bin auf einen scheinbaren Widerspruch gestoßen:

a>1         |:a
a/a>1/a
1>1/a

a>1            |^-1
a^-1>1^-1
1/a>1

Wie man Ungleichungen mit den Grundrechenarten löst, ist mir bekannt, doch anscheinend gibt es Extra-Regeln (?) für das Potenzieren. Kann man überhaupt Ungleichungen potenzieren während die Größenordnungen (>, <) gleich bleiben und wenn ja, unter welchen Bedingungen?

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Im Prinzip gibt es vier Fälle:
  1. Der Exponent ist positiv und ungerade. In diesem Fall kannst du die Ungleichung gefahrlos potenzieren, z.B. \(x<y\Longleftrightarrow x^3<y^3\)
  2. Der Exponent ist negativ und ungerade. In diesem Fall kannst du die Ungleichung auch potenzieren, musst aber das Ungleichheitszeichen umdrehen, z.B. \(x<y\Longleftrightarrow x^{-1}>y^{-1}\).
  3.  Der Exponent ist positiv und gerade. In diesem Fall kannst du die Ungleichung nur gefahrlos potenzieren, wenn beide Seiten immer positiv oder beide Seiten immer negativ sind, wenn beide Seiten immer negativ sind, musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen. Zum Beispiel darfst du \(\sqrt x>1\) zu \(x>1\) quadrieren, aus \(-\sqrt x<-1\) folgt nach Quadrieren \(x>1\) und aus \(x>0\) darfst du nicht durch Quadrieren \(x^2>0\) folgern, da die linke Seite der Ungleichung unterschiedliche Vorzeichen haben kann.
  4. Der Exponent ist negativ und gerade. Hier gilt eigentlich das gleiche wie bei 3., nur dass du das Ungleichheitszeichen umdrehen musst, wenn beide Seiten immer positiv sind, und nicht umdrehen musst, wenn beide Seiten negativ sind.
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