Wie berechne ich diese Extremalproblem-Textaufgabe? (Mit Nebenbedingung, Hauptbedingung und Zielfunktion)

Erste Frage Aufrufe: 1582     Aktiv: 05.11.2021 um 19:22
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Die Aufgabe: 

Eine Firma stellt oben offene Regentonnen für Hobbygärtner her. Diese sollen bei gegebenem Materialbedarf maximales Volumen besitzen. 

 

A) Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn 2m^2 Material je Regentonne zur Verfügung stehen? 

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Punkte: 10

 
Wie ist denn dein Ansatz und wo sind Probleme?   ─   markushasenb 31.10.2020 um 13:29
Bisher habe ich keinen Ansatz. Ich weißt nicht wie ich da anfangen soll bzw. wie ich das rechnen muss.   ─   lennarost 31.10.2020 um 15:25
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Was soll denn maximal werden ?
Und was ist begrenzt vorhanden?   ─   markushasenb 31.10.2020 um 15:26
Maximal soll das Volumen der Tonne werden und begrenzt vorhanden ist das Material pro Tonne.   ─   lennarost 31.10.2020 um 15:57
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Ganz genau und wie berechnest du das Volumen der Tonne ? Was ist eine Tonne für eine geometrische Figur ?   ─   markushasenb 31.10.2020 um 16:07
Das müsst ein Kreiszylinder sein. Dann müsste (V= pi x r^2 x h) sein.   ─   lennarost 31.10.2020 um 16:51
passt; und jetzt die Formel für die Fläche von Boden + Seitenwand   ─   scotchwhisky 31.10.2020 um 17:05
Also Fläche Seitenwand müsste: (2 x r x pi) sein, für den Boden dann: r + h
  ─   lennarost 31.10.2020 um 17:23
Boden ist pi r^2   ─   markushasenb 31.10.2020 um 17:43
Seitenwand 2* pi * r * h   ─   markushasenb 31.10.2020 um 17:44
Okay. Und wie mache ich dann mit diesen Formeln die Aufgabe weiter? Muss ich einsetzten und wenn ja wo?   ─   lennarost 31.10.2020 um 17:51
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2 Antworten
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Setze V = ... da hast du ja zwei Unbekannte drin: r und h . 
Eines von beiden kannst du dann substituieren, nachdem du die Formel für die Nebenbedingung umgeformt hast , mMn am besten nach h. 
dann hast du in V =.:: nur noch r . 
dann 1. Ableitung und extremwerte bestimmen. 

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Danke für die Antwort. Irgendwie stehe ich aber auf dem Schlauch.. könntest du mir das nochmal anders formulieren?   ─   lennarost 01.11.2020 um 12:13

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Hallo, vllt. kommt die Antowrt ein bisschen spät aber hier eine Erklärung für deine Aufgabe. 

Also deine Hauptbedingung ist: V(r,h) = pi *r^2 *h (Volumenformel für einen Zylinder) 

Nun kennst du den Oberflächeninhalt des Zylinders (ohne Deckel), dass ist die Nebenbedingung, die du dann nach einer Variable umstellst.
Ao= pi*r^2 + 2*h*(2*pi*r)    / : pi*r
2= r + 2h                            / -r /: 2
h= 1-r 

Dann die Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzen und du erhälst die Zielfunktion. 
V(r) = pi*r^2 *(1-r)           /Ausmultiplizieren 
V(r)= -r^3pi + r^2pi

Jetzt maximierst du die Zielfunktion und bildest dafür die Ableitungen. 
V´(r)=-3*r^2+pi +2r*pi
V``(r)= -6 rpi + 2*pi
Notwendige Bedingung: V`(r) = 0 
Hinreichende Bedingung: V`(r)=0 V``(r) =/ (ungleich) 0 

durch umstellen erlangt man dann zu dem Ergebniss, dass r1=0 und r2= 2/3 ist. 
wobei bei r2 das Maximum vorliegt. 

Da du r weißt kannst du jetzt ja ganz einfach h berechnen. 

Ich hoffe das konnt dir vielleicht helfen.

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