Beweisen mithilfe vollständiger Induktion

Aufrufe: 476     Aktiv: 19.11.2020 um 17:53
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Beweisen Sie mithilfe vollständiger Induktion mit n Element aus den natürlichen Zahlen

7^n + n  ≤  8^n

Mein Ansatz: 

Induktionsanfang: n ≥ 1

7^1+1 ≤  8^1

Vorraussetzung: die Aussage gilt für alle n ≥ 1

7^n+1 + n + 1 ≤ 8^n+1

und weiter komme ich leider nicht :/ kann mir jemand helfen?

 

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Induktionsanfang: n=1 überprüfen ==> \(7^1 +1 =8 \le 8^1.\)Induktionsanfang stimmt.
Induktionsannahme: \(7^n +n \le 8^n\)
Jetzt wird überprüft ob die Behauptung auch für n+1 gilt:
Bew: \(7^{n+1} +n+1 = 7*7^n +n+1 =7^n +n +6*7^n +1 \le 8^n+6*7^n +1 \le8^n +6*8^n +1\le 8^n(1+6) +1=7*8^n +1 \le 7*8^n +8^n = 8*8^n=8^{n+1}\) q.e.d

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