Vollständige Induktion Ungleichung

Aufrufe: 499     Aktiv: 11.08.2020 um 21:55
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Hey geht um folgenden Beweis :  

 

3^n > n² + 2n für alle n größergleich 2

 

Ich starte mal mit den Induktionsanfang:

n=2

3² > 2² +2*2 

9>8 ist somit richtig

 

Die Induktionsbehauptung wäre ja nun aus dem n ein n+1 zu machen:

 

3^(n+1) > (n+1)² + 2(n+1)  binomische Formel aufgelöst und zusammengefasst

3^(n+1) > n² +4n +3

 

Wie mache ich am besten weiter? Jemand ne Idee?

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\(3^{n+1}=3\cdot3^n\overset{I.V.}{>}3(n^2+2n)=3n^2+6n=n^2+4n+(2n^2+2n)>n^2+4n+3=(n+1)^2+2(n+1)\)

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