Hallo kamil,

die Schluss-Bausteine bekommt man sofort an Hand dessen, was zu beweisen ist. Falls man die genaue Bedingung von injektiv bzw. surjektiv nicht präsent hat, muss man sie für sich aufschreiben (genaue Definition nachsehen!). Das Kriterium, das man dafür jeweils zeigen muss, kann man jeweils auf einem der Bausteine finden :-) 

Manche Bausteine kann man streichen, weil sie keinen Sinn machen, z.B. "Da g surjektiv ist" - das soll ja bewiesen werden!

Die übrigen kann man sich sehr gut zusammenbasteln, wenn man versucht, korrekte/sinnvolle Deutsche Sätze zu bilden - da bleiben nicht mehr so viele Varianten übrig :-)
Für die orthogonale Matrix A muss man natürlich in der Vorlesung nachschauen, was man alles über orthogonale Matrizen für Aussagen weiß - die sollen ja mit der Aufgabe geübt werden!
Falls nicht klar ist, was Kern(A) ist, dann natürlich dies auch nachsehen.

Generelles Vorgehen bei Mathe-Aufgaben im Studium: Als erstes alle Definitionen einsetzen! Dann sieht man normalerweise die Zusammenhänge.

Mal versuchen? Ich helfe dann gern weiter.

LG

Hi Kamil,

Deine Interpretation "es trifft jedes x ein y" stimmt nicht, weil bei Funktionen generell jedes x natürlich auf irgendein y abgebildet wird, sonst wäre die Funktion für das x nicht definiert.

Injektiv heißt "MAXIMAL EIN x trifft ein y" - wobei ich statt "treffen" empfehlen würde "wird abgebildet auf" zu sagen. 
Beispiel: Stell Dir eine Parabel vor. Die ist NICHT injektiv, da sie für JEDES y (außer der Null) jeweils zwei x'e hat! :-)
Erinnerst Du Dich, wie man in der Schule die Umkehrfunktion der Parabel gemacht hat? Man hat sie auf den Bereich x >= 0 eingeschränkt, da sie dann injektiv ist. Im postiven Bereich hat jedes y ein eindeutiges x. (Das war nötig, um eine sinnvolle Umkehrfunktion - die Wurzel-Funktion - definieren zu können ... sonst hätte die Umkehrfunktion zwei Werte für ein x ...).

Injektiv bedeutet anders gesagt, dass im Bild der Funktion - d.h. alle y, die beim Anwenden der Funktion "getroffen" werden können - jedes y nur EINMAL getroffen wird, d.h. alle y im Bild der Funktion haben ein EINDEUTIGES x, so dass f(x) = y.
Wegen dieser Eindeutigkeit von x, wird Injektivität im Allgemeinen so definiert:
f ist injektiv, falls aus f(x1) = f(x2) folgt, dass x1 = x2.
Nicht wahr? Das heißt, dass das x zu einem y eindeutig ist.
Hast Du so eine Formulierung nicht in Deinen Unterlagen?

Damit wird die Injektivität in den Bausteinen bewiesen, d.h. Du kannst diese Bausteine heraussuchen.

Eine Definition fehlt noch: Was bedeutet \(f_A\)? Und was weiß man über solche Funktionen? Da müsste auch noch mindestens eine Info in Deinen Unterlagen sein.

LG

PS: Darf ich fragen, was Dein Studiengang ist?

Gut, dass ich wegen \(f_A\) gefragt habe, denn in der Mathematik muss halt immer alles ganz exakt sein :-( 

Die Matrix ist A :-), \(f_A\) ist ja eine Funktion - keine Matrix.
\(f_A\) ist die von A "induzierte" (lineare) Funktion der Multiplikation von A mit einem Vektor x.
Man kann auch sagen, A wird auf x "angewendet".
\(f_A\) ist definiert als \(f_A(x) = Ax\).

Hi kamil,

freut mich sehr, dass Du dran bleibst! :-))

Den Schluss der 2. Aufgabe hast Du bereits korrekt gefunden! Super!
Auch schön, dass Du viele Voraussetzungen verwendet hast, und einige sind richtig!
Man muss halt leider ganz exakt sein in der Mathematik :-( (Ich nenne es die Wissenschaft der Pingeligkeit). 

Nun meine Rückmeldung zu Deiner Reihenfolge (6, 5, 2, 8, 4, 10, 7) für die 2. Aufgabe: 

• 6 ("y := f(x)") müssen wir hinterschieben, da x noch gar nicht "bekannt" ist :-)
• 5 ("z := f(x)") ist falsch, da z beliebig sein muss, und es ist generell sogar FALSCH, da f(x) in Y liegt (nicht in Z)!
  In 8 wird ja z nochmal "gewählt", nämlich korrekt als beliebig - DAS setzen wir ganz an den Anfang, da hier auch nichts vorher bekannt sein muss.
• Als nächstes 2 hast Du super herausgefunden, dass man das zeigen muss. Das kann man jetzt nehmen, da hier nichts mehr, was da steht, "unbekannt" ist.
• Als nächstes 4 ist super (jetzt mit "Da g o f surjektiv" argumentieren)!
• Aber 10 stimmt generell nicht, da bestimmt nicht g(y) für alle y - dann wäre g eine konstante Funktion, die immer gleich z ist (und z würde hier sonst auch zum 3. mal gewählt...) :-))
  Statt 10 müssen wir die Definition der Surjektivität von g o f (wie wir es in 4 mit "Da g o f surjektiv" angekündigt haben) dann auch nutzen! In welchem Baustein steht die? (Das ist die einzige Frage, die ich Dir noch offen lasse :-) Das ist eine wichtige Übung und Du findest es sicher)
• JETZT können wir 6 gebrauchen ("y := f(x)"), da wir y "konstruieren" wollen.
• Und damit haben wir es bewiesen, wie Du es in 7 bereits korrekt herausgefunden hast.

LG

Boah, genial! Die Reihenfolge 10, 5, 8, 7, 11, 4  für die 3. Aufgabe ist fehlerlos! :-)))

Zur Spiegelung: So eine Matrix wäre natürlich sehr speziell und nicht nur orthogonal! Orthogonal ist keine SO starke Bedingung an die Werte in der Matrix (das betrifft eher die "Struktur" der Matrix). Eine Spiegelung müsstet ihr gehabt haben, da es für Maschinenbau sicher wichtig ist! Das ist diese Matrix, die sin und cos in allen Einträgen hat. Magst Du die mal nachsehen? Ich bin ganz sicher, dass die in einer Prüfung dran kommt ...

Zu Baustein 1, dass einer der Faktoren Null sei, möchte ich den Tipp geben, dass das immer bedeuten würde, dass das Produkt der Faktoren dann insgesamt Null ist :-) Und das haben wir in unserem Fall nirgends :-) 

Wenn Du noch Fragen hast, gerne!
Ansonsten kannst Du ja bei der ersten Antwort einen Haken machen, ja? (Sonst verrutscht die Reihenfolge der Antworten...)
Danke Dir!

LG!