Die Bauernfamilie Fischer produziert Milch. Sie haben n ∈ N Kühe und gehen aus alter Tradition nach dem folgenden Rezept vor: Sie melken von jeder Kuh 1 Liter Milch und mischen diese dann zusammen zu n Litern. Der Fettanteil der Milch von Kuh i, 1 ≤ i ≤ n, sei durch eine kontinuierliche Zufallsvariable Xi mit Erwartungswert µ und Varianz σ^2 beschrieben. Wir nehmen an, dass die Xi unabhängig und identisch verteilt sind.

a) Durch welche Zufallsvariable X wird der Fettanteil der gemischten Milch beschrieben?

b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X? Wie ist X für große n approximativ verteilt?

c) Es seien nun n = 1000 (das ist groß!), µ = 3.5 und σ 2 = 1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die gemischte Milch einen Fetthalt von weniger als 3.45?

d) Ein Kunde fragt nach dem Mindestfettgehalt der gemischten Milch. Welchen Wert kann Familie Fischer diesem Kunden mitteilen, wenn sie nur ein Risiko von 1% eingehen möchten mit dem tatsächlichen Fettgehalt unter diesem Wert zu liegen?

c) hab ich, aber am Rest hänge ich