Dass die rechte Seite 0 ergibt, sollte klar sein, da der Term konstant in $h$ ist und somit beim Ableiten wegfällt. Die linke Seite ergibt sich dann aus der Definition des totalen Differentials (und der Kettenregel) $$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}h}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}{h}}+\frac{\partial f}{\partial t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}{h}},$$ wobei $f(x,t)=f(x(h),t(h))$.

Hier ist $f$ nun das Integral auf der linken Seite. Das Integral in 1.17 ergibt sich dann aus $\frac{\partial f}{\partial t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}{h}}$ und die anderen beiden Terme erhält man aus $\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}{h}}$ und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, denn $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}\int_{a(h)}^{b(h)}\!f(t)\,\mathrm{d}t=f(b)\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}h}-f(a)\frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d}h}=f(b)b'(h)-f(a)a'(h).$$ Mit diesen Mitteln solltest du eigentlich auf das entsprechende Ergebnis kommen.