Seien U1, U2 Untergruppen von einer Gruppe (G, ·). Zeigen Sie, dass U1 ∪U2 genau dann eine Untergruppe von G ist, wenn U1 ⊂ U2 oder U2 ⊂ U1.

Aufrufe: 1032     Aktiv: 29.12.2020 um 17:02
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Hallo,

ich bräuchte bei dieser Aufgabe Hilfe wie man hier vorgeht.

Würde man hier die Untergruppenkriterien verwenden (1 bis 3) oder müsste man hier die Teilmengenbeziehungen zwischen den beiden Untergruppen beweisen. Weis leider gerade garnicht wie man da vorgenhen sollte.

Danke im Vorraus :)

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Student, Punkte: 15

 
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Es liegt hier eine genau, dann ... wenn - Aussage vor, das heißt, du musst eine Äquivalenz zeigen. 

1. Es sei \(U_1\cup U_2\) eine Untergruppe von \(G\), dann gilt ... jetzt musst du hier irgendwie mittels der Kriterien (oder alles, was du über Untergruppen und Teilmengen weißt) zeigen, dass entweder \(U_1\subset U_2\) oder \(U_2\subset U_1\) gelten muss. Hier könnte man eine Widerspruchbeweis führen.

2. Es sei \(U_1\subset U_2\) oder \(U_2\subset U_1\), dann gilt ... hier musst du jetzt irgendwie darauf kommen, dass \(U_1\cup U_2\) eine Untergruppe von \(G\) ist. Diese Richtung ist relativ einfach zu zeigen. Dafür braucht man auch keine Untergruppenkritierien. Wie sieht denn \(U_1\cup U_2\) aus, wenn \(U_1\subset U_2\) gilt? Und warum ist das dann eine Untergruppe? ;) 

Hilft dir das schon weiter?

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Selbstständig, Punkte: 30.55K

 
Ja dann müsste U1 in U2 Liegen oder? Und es werden alle Elemente von U1 und U2 betrachtet, weil hier eine Vereinigung vorliegt.
Okay danke das hilft schon weiter :)   ─   anbaki2195 29.12.2020 um 16:48

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.