Sachzusammenhänge

Aufrufe: 77     Aktiv: 13.06.2021 um 16:01

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Wie beschreibt man die zweite und sechste Situation mathematisch? Muss man beim zweiten nur die erste Ableitung nutzen, oder auch die zweite?

 

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Schüler, Punkte: 24

 
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1 Antwort
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Hallo!
Wie du schon bemerkt hast, benutzt du hier die erste Ableitung, um Aussagen über die Monotonie treffen zu können.
In der Aufgabenstellung wird dir quasi die Funktion gegeben, wie viele Kunden sich zu jedem Zeitpunkt \( t \) (in Stunden seit der Öffnung) im Laden befinden. Die Funktion, wir nennen sie jetzt mal \( b(t) \), gibt also den *Bestand* an.
Welche Bedeutung hat jetzt die erste Ableitung \( b'(t) \)? Die beschreibt ja die Steigung von \( b(t) \), also Wie schnell sich die Kundenzahl im Laden ändert, die *Änderungsrate*.
BeimBetrachten des Monotonieverhaltens unterscheidest du dabei drei Fälle:
1) \( b'(t) > 0 \)
2) \( b'(t) < 0 \)
3) \( b'(t) = 0 \)
Zu 1): Die Änderung von \( b(t) \) ist positiv (eine positive Steigung), also nimmt die Kundenzahl gerade zu. \( b(t) \) ist * (streng) monoton steigend*.
Zu 2): Die Änderung von \( b(t) \) ist negativ (eine negative Steigung), also nimmt die Kundenzahl gerade ab. \( b(t) \) ist *(streng) monoton fallend*.
Zu 3): Hier liegt ein Wechsel zwischen 1) und 2) vor. Die Besucherzahl erreicht ein Extremum (ein lokales Maximum/Minimum, oder einen Sattelpunkt).

Nun zur zweiten Ableitung. Bei der Monotonie genügt erstmal ausschließlich die Betrachtung von \( b'(t) \), du betrachtest ja das Steigungsverhalten. Interessant ist jedoch der Fall \( b''(t) = 0 \), was sagt dieser nämlich über \( b'(t) \).
Es ist hilfreich, wenn du dir die in der Aufgabe beschriebene Funktion \( b(t) \) mal skizzierst und dann graphisch \( b'(t) \) und \( b''(t) \) bildest.

Hoffentlich konnte ich dir helfen.
LG Lunendlich :)
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geantwortet

Schüler, Punkte: 500

 

Also wäre
bei (2) b'(t) < 0
bei (4) b(7) Linksgekrümmt, b'(7) streng monoton steigend, b“(7) = 0 und
b"'(7) ≠ 0
bei (6) für t > 9,5 gilt b‘(t) streng monoton fallend und b“(t) < 0
richtig?
  ─   florian711 13.06.2021 um 09:46

Jup, so ist's richtig :) Bei (6) ist noch b'(t) < 0.   ─   lunendlich 13.06.2021 um 15:47

Alles klar Vielen vielen Dank :)   ─   florian711 13.06.2021 um 16:01

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