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Hallo Zusammen
 
Ich hätte folgende Aufgabe:
 
Zeige dass falls \(A\in Mat_{n\times n}(K)\) eine nilpotente Matrix ist so dass \(A\neq 0\) dann folgt dass A nicht diagonalisierbar ist.
 
 
 
Ich hätte das wie folgt bewiesen.
 
Da A nilpotent ist wissen wir dass das charakteristische Polynom von A die Form \(p_A(x)=x^n\) hat. Daraus folgt dass 0 der einzige Eigenwert ist. Da \(A\neq 0\) ist gilt nun, dass \(n>1\) sein muss.
Wir nehmen also an, dass A diagonalisierbar ist. Dann sollte gelten dass \(Eig(A,0)=Hau(A,0) \Leftrightarrow dim(Eig(A,0))=dim(Hau(A,0))\)
Nun wissen wir dass \(dim(Hau(A,0))=mult_0(p_A(x))=n>1\stackrel{Annahme}{=}dim(Eig(A,0))\) (wobei mult die Vielfachheit vom Eigenwert 0 ist bezüglich des charakteristischen Polynoms)
Das ist nun ein Widerspruch zur Annahme. Daraus folgt nun dass \(Eig(A,0)\neq Hau(A,0)\) und somit ist A nicht diagonalisierbar.
 
 
Ich bin mir hier nicht ganz sicher ob das so funktioniert und wäre euch dankbar wenn sich das jemand anschauen könnte.
 
Vielen Dank!
 
Liebe Grüsse
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Das ist viel zu kompliziert! Nimm einfach mal an, dass \(A=diag(a_1,\ldots, a_n)\) eine Diagonalmatrix ist. Es gilt nun \(A^k=diag(a_1^k,\ldots,a_n^k)\). Somit ist \(A^k=0\) nur dann war, wenn \(a_1,\ldots,a_n=0\) gilt. Es ist also jede Diagonalmatrix (außer Nullmatrix) nicht nilpotent.
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Hallo
Okei ja aber auf das wäre ich nicht gekommen, stimmt dann aber meins auch oder ist das falsch?
Hmm aber warte mal wieso darfst du einfach A als diagonalmatrix annehmen? denn diagonalisierbar bedeutet ja dass A ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist, nicht dass A die Diagonalmatrix ist.
  ─   karate 30.06.2021 um 09:07

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Ja, da fehlt noch ein Schritt: Aus Nilpotenz plus Diagonalisierbar folgt \(A=T\,N\,T^{-1}\) mit Nullmatrix N (da in der Diagonalmatrix auf der Diagonalen die EWe stehen). Also A=N, Widerspruch.   ─   mikn 30.06.2021 um 11:09

Ah ja das macht schon mehr Sinn aber würde mein weg so auch funktionieren oder geht nur dieser hier?

Mir ist gerade noch etwas aufgefallen, ich müsste es dann so machen \(dim(Hau(A,0))=mult_0(p_A(x))=n\stackrel{Eig(A,0)\subset Hau(A,0)}{>}dim(Eig(A,0))\)
  ─   karate 30.06.2021 um 11:17

Ich dachte Dein Weg ist im Prinzip mein Zweizeiler oben. Ich weiß nicht, warum man da noch über die Räume und deren Dim reden sollte. Nochmal: Nilpotenz -> (Dein Weg) einziger EW ist 0. Der Rest in meinem Zweizeiler, fertig.   ─   mikn 30.06.2021 um 12:19

ja ich meine deiner ist schon eleganter da sage ich wirklich nichts dagegen aber ich wäre einfach so nicht darauf gekommen.   ─   karate 30.06.2021 um 13:16

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Du argumentierst mit Aspekten, die FOLGEN der Diagonalisierbarkeit sind. Ich versuche immer zuerst die Eigenschaft selbst, d.h. das, was in der Def. (hier: von "diagonalisierbar") festgelegt ist, zu benutzen. Wenn das nicht geht, kann man ja immer noch andere Features ins Spiel bringen.   ─   mikn 30.06.2021 um 13:24

Vielen Dank für den Tipp werde ich mir zu Herzen nehmen und versuchen umzusetzen! Das hilft teils wirklich sehr so wie das als ich immer den \(lim\) vorne hingeschrieben habe, das gibt es nun auch nicht mehr. Also bin offen für weitere solche nützlichen Hinweise!!   ─   karate 30.06.2021 um 13:28

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Nachtrag: Dasselbe Herangehen führt dazu, dass man im Beweis auch ohne EWe auskommt, indem man die Def. von Nilpotenz benutzt. So wie im Beweis von mathejean (wo nur noch das Argument mit der Transformationsmatrix fehlt). Ich hab das Argument mit den EWen aufgegriffen, weil ich einen Teil Deines Beweises "retten" wollte. - Freut mich, wenn ich nachhaltig helfen kann.
  ─   mikn 30.06.2021 um 13:34

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Hey Karate,
keine Ahnung ob du das noch brauchst und ob mein ''Weg'' sofern er den gültig ist ,
( bin noch gar kein Profi in Linalg , eher blutiger Anfänger) , dir hilft?
Ich habe die Überlegung über die dimensionen der Eigenräume und Haupträume gemacht, so wie du es angetönt hast.

Vielleicht siehst du oder jemand anderst aber auch noch einen Fehler , dann währe ich froh um Rückmeldung :)
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