Kongruenz/Restklassen

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Kann mir wer die Kongruenz Geschichte erklären? 

 

gefragt 2 Monate her
anonym0102
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1 Antwort
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Hallo,

Kongruenz bedeutet erstmal Übereinstimmung. Kongruenz gibt es in mehreren Gebieten der Mathematik. Zum Beispiel auch in der Geometrie. Dort sind beispielsweise Dreicke kongruent, wenn sich das eine durch Drehung oder Spiegelung des anderen erzeugen lässt. 
In der Zahlentheorie (und ich denke das ist hier von dir gemeint) bezieht sich die Kongruenz auf die Divison mit Rest von Zahlen.

Betrachten wir mal die Divison:

$$ 10 \div 3 = 3 + 1 \div 3 $$

Die 3 passt 3x in die 10 und es bleibt der Rest 1. Wir nennen die 1 Rest, da die 3 nicht mehr in die 1 passt. Sie bleibt also quasi übrig bei der Division. Bei der Kongruenz in der Zahlentheorie überprüfen wir Zahlen bzgl einem Teiler (hier 3) und vergleichen nur den Rest miteiannder. Nehmen wir beispielsweise die 11

$$ 11 \div 3 = 3 + 2 \div 3 $$

oder die 13

$$ 13 \div 3 = 4 + 1 \div 3 $$

Die 10 und die 11 haben bzgl. der 3 als Teiler einen unterschiedlichen Rest. Die 13 hat aber den selben Rest wie die 10. Hier kommt das Wort Übereinstimmung (Kongruenz) zum "Einsatz". Solche Zahlen die bzgl. einem Teiler (auch Modulo genannt) den gleichen Rest haben, packen wir in sogenannte Restklassen. 

Nun schreiben wir das ganze noch etwas anders. Das Teilen von 10 durch 3, schreiben wir dann als

$$ 10 \mod 3 = 1 $$

die Zahl 10 hat bzgl. des Teilers 3 (modulo 3) den Rest 1. 

Man kann jetzt zeigen, dass diese Restbetrachtung sogar eine Äquivalenzrelation ist. Also alle Elemente in einer Restklasse, haben eine gewisse äquivalenz zueinander.

Ich hoffe das hilft dir erstmal als Einstieg. Wenn noch etwas unklar ist, dann melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

geantwortet 2 Monate her
christian_strack
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