Faktorzerlegung für Polynomfunktion, was ist der beste Lösungsweg für die Nullstellenberechnung?

Aufrufe: 440     Aktiv: 19.09.2020 um 19:33
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Gegebene Polynofunktion y = f(x) = x³ + 2x² - 13x + 10

Was gibt es für Möglichkeiten bzw. wie wird vorgegangen um auf \( (x + 5) \cdot (x - 1) \cdot (x - 2) \) kommen?

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Moin xc12.

Zuerst musst du eine Nullstelle raten, um dann Polynomdivision durch zu führen. Beispielsweise \(x_0=1\), das sieht man hier ja relativ leicht.

Dann führst du mit dieser Nullstelle Polynomdivision durch (oder Hornerschema) und das Polynom reduziert sich um einen Grad, du erhälst also eine Funktion mit \(x^2\). Diese kannst du dann mit pq-Formel, quadratische Ergänzung, Mitternachtsformel, o.Ä. lösen.

 

Grüße

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Student, Punkte: 9.96K

 
Hi Danke, und fürs "raten" gibt es da "best practice" oder einfach bei 0 anfangen und dann 0, 1, -1, 2, -2 usw..?
   ─   xc12 19.09.2020 um 15:44
Es ist sinnvoll mit \(0\) zu starten und dann, wie du vorgeschlagen hast, mit \(1,-1\) usw. weiter zu machen. Die Aufgaben werden in der Regel auch so gestellt, dass man mindestens eine Nullstelle leicht erraten kann, da brauchst du dir keine allzu großen Sorgen machen.
   ─   1+2=3 19.09.2020 um 16:56
Danke @1+2=3
   ─   xc12 19.09.2020 um 19:33

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Der schnellste Weg ist das Horner-Schema. Zunächst rät man eine mögliche Nullstelle, sagen wir x0. m zu testen, ob x0 wirklich eine Nullstelle ist, berechnet man den Wert p(x0) mit dem Horner-Schema. Ist p(x0)=0 liest man - ohne weitere Rechnung!!! - das verbliebene Restpolynom ab, d.h. das Polynom p(x)/(x-x0). Nochmal: Polynomdivision ist überflüssig. Beim Test auf Nullstelle mit dem Horner-Schema bekommt man das Ergebnis der Polynomdivision geschenkt.

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