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Zur Frage mit dem Definitionsbereich: Da gibt es wohl einen Tippfehler in deinem Buch, es sollte \(f:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R\) heißen, denn für \(0\) ist die Funktion ja nicht definiert, wie ja auch unmittelbar unter der Funktionsdefinition steht. Ansonsten macht die Verkettung \(g\circ f\) allerdings kein Problem, denn \(f\) bildet in die positiven reellen Zahlen ab (\(\frac1{y^2}>0\) für alle \(y\neq 0\)), also ist \(g\circ f\) stets definiert.
Nun zur Rechnung: Bis zum Punkt $$\sqrt{\frac{\frac1{x^2}+2}{\frac1{x^2}+1}}$$ ist alles korrekt. Nun solltest du versuchen, die Doppelbrüche aufzulösen, indem du den Bruch mit \(x^2\) erweiterst. Dann kommst du eigentlich schon unmittelbar auf die Form, die in deinem Buch angegeben ist. Das heißt übrigens nicht, dass deine Lösung falsch ist, sie ist nur nicht vollständig vereinfacht.
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Mein Problem war, dass mir das Auflösen von Doppelbrüchen mit Variablen noch nicht geläufig war. Das war der nötige Hinweis!
Hab kurz geschaut wie das geht, muss jetzt ein paar Aufgaben üben um es zu verinnerlichen. ABER - Jetzt komme ich auch für (g nach f) auf die Lösung wie im Buch, also jetzt ist sie vollständig vereinfacht.
Bei dem möglichen Tippfehler kann es auch sein, dass der Autor davon ausgeht keine Null zu verwenden, weil es im Text vorher umschrieben wird. Vielen Dank für die Hilfe! ─ woody 27.01.2021 um 17:13