Lineare Abbildungen

Aufrufe: 167     Aktiv: 20.11.2023 um 17:04

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A ist eine 2x2 Matrix mit Zeilenvektoren (1,1) und (0,-1).
δΑ: R^2 -> R^2, δΑ(x) = Ax, ist eine lineare Abbildung mit x aus R^2. 

Zuvor sollte ich beweisen, das die Komposiotion dieser Abbildung mit sich selbst id(R^2) ist. Das war kein Problem.

Nun sollte ich zunächst beweisen, das jedes x aus R^2, eine eindeutige Darstellung x = u + v hat, mit δΑ(u) = u & δΑ(v) = - v.

Mein Ansatz ist: δΑ(u) = u = (u1,u2) = Au
& δΑ(v) = - v = (-v1, -v2) = Av

=> δΑ(x) = δΑ(u + v) = A(u + v)
= ... = (u1 + u2, -u2) + (v1 + v2, -v2) =
A (u1, u2) + A (v1, v2)
= A (u1 + v1, u2 + v2)

Nun δΑ(u) + δΑ(v) = Au + Av = A (u1, u2) + A (v1, v2) = A(u1 + v1, u2 + v2).

(Da wo überall A steht, soll die Matrix die zu Beginn gegeben war stehen)

Somit gilt δΑ(u) + δΑ(u) = δΑ(u + v) = δΑ(x).

Wäre dieser Ansatz korrekt?




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