Sei I⊆Z (Z... Menge der ganze Zahlen) nicht leer. Für die Menge I gelte...

Erste Frage Aufrufe: 364     Aktiv: 09.01.2022 um 21:19
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Hallo, ich würde Hilfe bei der Lösung folgender Aufgabe benötigen.

Sei I⊆Z (Z... Menge der ganze Zahlen) nicht leer. Für die Menge I gelte:

(a) Wenn a,b ∈ I  ⇒ (a + b) ∈ I
(b) Wenn a ∈ I und n ∈ Z (Z ... Menge der ganzen Zahlen) ⇒ na ∈ I

Ist d die kleinste positive Zahl in I ≠ {0}, dann teilt d jede Zahl in I.

Vielen Dank, wenn sich jemand die Mühe und die Arbeit macht das ganze mir hier einmal verständlich zu erklären.

Beste Grüße und nochmals Danke!
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1 Antwort
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Da \(I \not ={0}\) existiert ein \(a\in I\) mit \(a\not =0\). Arbeite nun mit Division mit Rest: \(a=qd+r \Leftrightarrow r=a-qd\). Was weißt du jetzt über \(r\)?
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Student, Punkte: 10.87K

 
Ja also wir wissen jetzt ja das r = a-qd ist.

Jetzt kenne ich aber noch immer nicht so richtig aus, also bei der ersten Aussage heißt es ja einmal grundsätzlich a und b sind Elemente von I und I ist ja eine Teilmenge der ganzen Zahlen nicht? Dann wenn a und b elemente von I sind, ist auch a + b ein Element von I. Lese ich das richtig, zuersteinmal?

Nun habe ich deine Antwort nochmal gelesen, also wir haben einmal ein a das nicht 0 ist, ok, aber woher haben wir das r jetzt genommen und was stellst du jetzt mit q*d da bzw. wo genau soll ich jetzt die Division mit Rest anwenden.

Oder denke ich jetzt falsch?   ─   userd2db11 05.01.2022 um 17:26
Du denkst richtig, wir wissen jetzt, dass \(r \in I\) ist. Nutze nun, dass \(d\) minimal ist   ─   mathejean 05.01.2022 um 17:29
Wenn d minimal ist und sich alles auf die ganzen Zahlen bezieht, so ist d=1 oder nicht?
weil dann wäre ja r = a - q*1 also r = a - q   ─   userd2db11 05.01.2022 um 17:46
Ganz genau, wegen der Minimalität folgt \(r=0\) und somit \(d=1\)   ─   mathejean 05.01.2022 um 18:15
Also ich denke wir kommen der Sache jetzt schon näher.

Ich setzte also jetzt in r = a - q*1 für r=0 ein. Also 0 = a - q. Jetzt wissen wir, das wenn r = 0 ist, so ist d=1 und wenn d=1 ist, dann teilt es die Aussage (a+b), da diese ja Element aus I ist.

Aber wie schreibe ich das jetzt nieder, da sind wir jetzt ja wieder bei dem Punkt mit der Divison von ganz oben oder? Also deiner ersten Antwort...   ─   userd2db11 05.01.2022 um 18:25
Moment wir folgern \(r=0\): es ist klar, dass \(0\leq r < d\), es ist also \(0\leq a-qd < d\), es ist aber nach Voraussetzung \(d\) minimal, also muss \((r=)a-qd=0\) sein, folglich ist \(a=qd\).   ─   mathejean 05.01.2022 um 18:38
Irgendwie hat die Benachrichtigungsfunktion gar nicht funktioniert, aber bin ja erst vor kurzem registriert, deshalb hab ich die Antwort nicht gesehen...

Bei der a) habe ich jetzt einmal das so hingeschrieben, das am Ende, also nach dem ich es wie du im vorhergehenden kommentar beschrieben hast d alles teilt wenn a = qd bzw r ist, nicht? Aber wie gehe ich jetzt bei der b) vor, ich weiß, das a nicht null sein darf, da es Element aus I ist, das heißt ja dann aber auch das n welches Element aus Z ist, nicht null sein darf, weil ja als beispiel 1*0 null wäre und ja dann die Behauptung na ist Element aus I nicht mehr stimmt. Aber was muss ich jetzt bei der b) mit der Teilbarkeit (d) beweisen?   ─   userd2db11 09.01.2022 um 16:36
Das sind keine Aufgabenteile a) und b) sondern die zwei Eigenschaften eines Ideals...   ─   mathejean 09.01.2022 um 17:50
Ok, mich hat das nur verwirrt warum dann (a) und (b) in der Aufgabe steht
   ─   userd2db11 09.01.2022 um 21:19

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