Eindeutigkeit vom Taylor Polynom

Aufrufe: 815     Aktiv: 22.06.2020 um 00:02

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Sei U ⊆ Rn offen, a ∈ U ein Punkt und f : U → R eine Funktion sowie k ∈ N. Beweisen Sie, dass es maximaleinPolynom p : U → R vomGrad≤k mitderEigenschaft lim x→a f(x)−p(x) /(x−a)^k = 0

gebenkann.

Welche Aussage können Sie hier mit über die Taylor-Polynomevon f machen? 

 

Kann mir jemand bei dem beweis weiter helfen bin mir nicht ganz sicher wie ich das machen soll?

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Seien \(p\) und \(q\) Polynome vom Grad \( \le k \) mit der Eigenschaft \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)-p(x)}{(x-a)^k} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-q(x)}{(x-a)^k} = 0 \).

Wir definieren zunächst für \(n \in \mathbb{N}_0 \) die Funktion \( g_n(x) = \begin{cases} \frac{p^{(n)}(x)-q^{(n)}(x)}{(x-a)^{k-n}} & x \neq a \\ 0 & x=a \end{cases} \)

Nun zeigen wir per Induktion, dass für \(0 \le n \le k\) die Funktion \(g_n\) stetig in \(a\) ist und dass \( p^{(n)}(a) - q^{(n)}(a) = 0 \) ist.

Induktionsanfang: Aus der Vorraussetzung folgern wir zunächst

\( \lim_{x \to a} \frac{p(x)-q(x)}{(x-a)^k} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-q(x)-(f(x)-p(x))}{(x-a)^k} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-q(x)}{(x-a)^k} - \lim_{x \to a} \frac{f(x)-p(x)}{(x-a)^k} = 0-0 = 0 \)

Also ist die Funktion \(g_0\) stetig in \(a\) und wir erhalten

\( p(a) - q(a) = \lim_{x \to a} p(x)-q(x) = \lim_{x \to a} g_0(x)(x-a)^{k} = 0 \)

Induktionsschritt: Sei nun \(g_n\) stetig in \(a\) und \( p^{(n)}(a) - q^{(n)}(a) = 0 \) für ein \(0 \le n \le k-1\).

Wegen \( \lim_{x \to a} p^{(n)}(x) - q^{(n)}(x) = p^{(n)}(a) - q^{(n)}(a)=0 \) und \( \lim_{x \to a} (x-a)^{k-n} = 0 \) ist, können wir im folgenden die Regel von L´Hospital anwenden. Es gilt

\( 0 = g_n(a) = \lim_{x \to a} g_n(x) = \lim_{x \to a} \frac{p^{(n)}(x) - q^{(n)}(x)}{(x-a)^{k-n}} = \lim_{x \to a} \frac{p^{(n+1)}(x) - q^{(n+1)}(x)}{(k-n) (x-a)^{k-(n+1)}} = \frac{1}{k-n} \lim_{x \to a} g_{n+1}(x) \)

Also ist \( \lim_{x \to a} g_{n+1}(x) = 0 = g_{n+1}(a) \) und somit \(g_{n+1}\) stetig in \(a\). Ferner erhalten wir

\( p^{(n+1)}(a) - q^{(n+1)}(a) = \lim_{x \to a} p^{(n+1)}(x) - q^{(n+1)}(x) = \lim_{x \to a} g_{n+1}(x) (x-a)^{k-(n+1)} = 0 \)

Und damit ist der Induktionsbeweis erbracht.

Wir haben nun gezeigt, dass \(p-q\), das ja ein Polynom vom Grad \( \le k \) sein muss, die \(k+1\)-fache Nullstelle \(a\) besitzt. Also muss \(p-q\) das Nullpolynom und somit \(p=q\) sein.

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Ich bin mir leider nicht sicher, ob du vielleicht den mehrdimensionalen Fall meinst, weil du einerseits \(U \subset \mathbb{R}^n \) und andererseits \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)-p(x)}{(x-a)^k} \) geschrieben hast, was beides nicht zusammenpasst. Falls der mehrdimensionale Fall gemeint ist, dann musst du meine Antwort entsprechend mit Beträgen abändern.   ─   42 21.06.2020 um 23:06

ja es ist der mehrdimensionaler fall von f(x)-p(x) sollten eigentlich norm striche und um x-a auch aber trozdem danke hatte beweise ähnlicher art zwar schon gesehen aber nie so ganz verstanden aber deine antwort ist wirklich sehr gut und hat mir sehr geholfen danke   ─   henry_99 21.06.2020 um 23:23

Freut mich, wenn ich helfen konnte. Ich hoffe, dass man den Beweis auch wirklich für den mehrdimensionalen Fall abändern kann. Ansonsten kannst du dich ja dann einfach noch mal melden.   ─   42 22.06.2020 um 00:02

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