Seien \(p\) und \(q\) Polynome vom Grad \( \le k \) mit der Eigenschaft \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)-p(x)}{(x-a)^k} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-q(x)}{(x-a)^k} = 0 \).

Wir definieren zunächst für \(n \in \mathbb{N}_0 \) die Funktion \( g_n(x) = \begin{cases} \frac{p^{(n)}(x)-q^{(n)}(x)}{(x-a)^{k-n}} & x \neq a \\ 0 & x=a \end{cases} \)

Nun zeigen wir per Induktion, dass für \(0 \le n \le k\) die Funktion \(g_n\) stetig in \(a\) ist und dass \( p^{(n)}(a) - q^{(n)}(a) = 0 \) ist.

Induktionsanfang: Aus der Vorraussetzung folgern wir zunächst

\( \lim_{x \to a} \frac{p(x)-q(x)}{(x-a)^k} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-q(x)-(f(x)-p(x))}{(x-a)^k} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-q(x)}{(x-a)^k} - \lim_{x \to a} \frac{f(x)-p(x)}{(x-a)^k} = 0-0 = 0 \)

Also ist die Funktion \(g_0\) stetig in \(a\) und wir erhalten

\( p(a) - q(a) = \lim_{x \to a} p(x)-q(x) = \lim_{x \to a} g_0(x)(x-a)^{k} = 0 \)

Induktionsschritt: Sei nun \(g_n\) stetig in \(a\) und \( p^{(n)}(a) - q^{(n)}(a) = 0 \) für ein \(0 \le n \le k-1\).

Wegen \( \lim_{x \to a} p^{(n)}(x) - q^{(n)}(x) = p^{(n)}(a) - q^{(n)}(a)=0 \) und \( \lim_{x \to a} (x-a)^{k-n} = 0 \) ist, können wir im folgenden die Regel von L´Hospital anwenden. Es gilt

\( 0 = g_n(a) = \lim_{x \to a} g_n(x) = \lim_{x \to a} \frac{p^{(n)}(x) - q^{(n)}(x)}{(x-a)^{k-n}} = \lim_{x \to a} \frac{p^{(n+1)}(x) - q^{(n+1)}(x)}{(k-n) (x-a)^{k-(n+1)}} = \frac{1}{k-n} \lim_{x \to a} g_{n+1}(x) \)

Also ist \( \lim_{x \to a} g_{n+1}(x) = 0 = g_{n+1}(a) \) und somit \(g_{n+1}\) stetig in \(a\). Ferner erhalten wir

\( p^{(n+1)}(a) - q^{(n+1)}(a) = \lim_{x \to a} p^{(n+1)}(x) - q^{(n+1)}(x) = \lim_{x \to a} g_{n+1}(x) (x-a)^{k-(n+1)} = 0 \)

Und damit ist der Induktionsbeweis erbracht.

Wir haben nun gezeigt, dass \(p-q\), das ja ein Polynom vom Grad \( \le k \) sein muss, die \(k+1\)-fache Nullstelle \(a\) besitzt. Also muss \(p-q\) das Nullpolynom und somit \(p=q\) sein.