Taylor-Polynom und Restgliedabschätzung

Aufrufe: 77     Aktiv: 04.02.2021 um 15:26

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Hi! Ich habe die Funktion gegeben:

\(f: (0, \infty) \rightarrow\mathbb{R} \\ f(x) = ln(x)\)
(Taylorpolynom 2. Grades im Entwicklungspunkt 1 gesucht)

Nun soll ich mittels Restgliedabschätzung zeigen, dass für alle \(x  \geq 1\) gilt:
\(|f(x)-T_2(x,1)|  \leq \frac{1}{2}(x-1)^3\)

 

Anschließend soll noch gesagt werden, wieso \(T_2\) keine gute Näherung an ln(x) für Argumente x in der Nähe von 0 ist.

Habe leider keine Idee, wie ich hier vorgehen könnte, vielleicht kann mit jemand helfen..

Vielen Dank!

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Schlüsselworte in der Aufgabenstellung suchen: Taylorpolynom, Restglied. Diese nachschlagen.

Dann Taylorpolynom aufstellen, das sollte nicht schwer sein. Einfach einsetzen und ausrechnen. Dann was bekannt ist, in Restglied einsetzen. Dann erst beginnt der (vielleicht) schwierige Teil, dann geht es um die Abschätzung.
Mach erstmal bis dahin, dann schauen wir gemeinsam weiter.

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Für das Taylorpolynom 2. Grades im Entwicklungspunkt 1 habe ich mit \(T_2 = \sum \limits_{k=0}^{ 2} \frac{1}{k!}f^{k}(x_0)*(x-x_0)^k\) folgendes:
\(T_2 = x-1-\frac{1}{2}*(x-1)^2\)
Stimmt das schonmal?

Das Restglied würde ich durch folgenden Ausdruck erhalten oder?:
\(\frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!} *(x-x_0)^{n+1}\)
  ─   anonym 04.02.2021 um 12:40

Sehr gut! Alles richtig. Wir haben ja \(|T_2(x)-\ln x|\le\) Restglied. Wie sieht das in unserem Fall aus? Was wissen wir über \(\xi\)? Wir sind schon fast fertig.   ─   mikn 04.02.2021 um 12:53

Ich glaube hier liegt mein Problem. Ich verstehe nicht was mit dem xi zu tun ist. Und wie ich das Restglied mit den xi berechne   ─   anonym 04.02.2021 um 14:14

Du sollst und kannst das nicht berechnen, nur abschätzen. Das xi kennen wir nicht, aber ein wenig wissen wir schon. Aber erstmal das Restglied aufstellen, dann sehen wir weiter. Also?   ─   mikn 04.02.2021 um 14:16

Das Restglied sollte so aussehen:
\(\frac{f'''(ξ(x))}{3!} * (x-x_0)^3\)
Entsprechend mit \(f'''(x) = \frac{2}{x^3}\) ; \(3! = 6\) und \(x_0 = 1\) oder?
  ─   anonym 04.02.2021 um 14:40

Beachte: \(\frac12(x-1)^3\) (aus der Aufgabe) ist nicht das Restglied. Wir wollen zeigen, dass Restglied\(\le\frac12(x-1)^3\) ist.   ─   mikn 04.02.2021 um 14:41

Ja, aber nun setz doch alles ein, schreib nicht die Hälfte drunter.   ─   mikn 04.02.2021 um 14:42

\(\frac{1}{3*(ξ(x))^3} * (x-1)^3\)   ─   anonym 04.02.2021 um 14:45

na, geht doch. Bis hierhin war nur stupides Einsetzen (und ein wenig Ableiten). Du siehst sicherlich eine gewisse Ähnlichkeit mit dem, was wir wollen. xi liegt zwischen 1 und x, und \(x\ge 1\). Wo liegt dann xi? Und wie können wir damit \(\frac1{\xi^3}\) nach oben abschätzen?   ─   mikn 04.02.2021 um 14:58

Da ich gleich bis abends hier nicht mehr reinschaue, hier das weitere Vorgehen: die Abschätzung aus der Aufgabe solltest Du nun hinbekommen. Dann die Zusatzfrage: was ändert sich, wenn x nahe bei 0 ist? Was ist denn über die Lage von xi zu sagen? Und was ändert sich dann an der Abschätzung?   ─   mikn 04.02.2021 um 15:26

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