Taylor-Polynom und Restgliedabschätzung

Aufrufe: 503     Aktiv: 04.02.2021 um 15:26
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Hi! Ich habe die Funktion gegeben:

\(f: (0, \infty) \rightarrow\mathbb{R} \\ f(x) = ln(x)\)
(Taylorpolynom 2. Grades im Entwicklungspunkt 1 gesucht)

Nun soll ich mittels Restgliedabschätzung zeigen, dass für alle \(x  \geq 1\) gilt:
\(|f(x)-T_2(x,1)|  \leq \frac{1}{2}(x-1)^3\)

 

Anschließend soll noch gesagt werden, wieso \(T_2\) keine gute Näherung an ln(x) für Argumente x in der Nähe von 0 ist.

Habe leider keine Idee, wie ich hier vorgehen könnte, vielleicht kann mit jemand helfen..

Vielen Dank!

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Schlüsselworte in der Aufgabenstellung suchen: Taylorpolynom, Restglied. Diese nachschlagen.

Dann Taylorpolynom aufstellen, das sollte nicht schwer sein. Einfach einsetzen und ausrechnen. Dann was bekannt ist, in Restglied einsetzen. Dann erst beginnt der (vielleicht) schwierige Teil, dann geht es um die Abschätzung.
Mach erstmal bis dahin, dann schauen wir gemeinsam weiter.

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Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K

 
Für das Taylorpolynom 2. Grades im Entwicklungspunkt 1 habe ich mit \(T_2 = \sum \limits_{k=0}^{ 2} \frac{1}{k!}f^{k}(x_0)*(x-x_0)^k\) folgendes:
\(T_2 = x-1-\frac{1}{2}*(x-1)^2\)
Stimmt das schonmal?

Das Restglied würde ich durch folgenden Ausdruck erhalten oder?:
\(\frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!} *(x-x_0)^{n+1}\)   ─   anonymba22d 04.02.2021 um 12:40
Ich glaube hier liegt mein Problem. Ich verstehe nicht was mit dem xi zu tun ist. Und wie ich das Restglied mit den xi berechne   ─   anonymba22d 04.02.2021 um 14:14
Das Restglied sollte so aussehen:
\(\frac{f'''(ξ(x))}{3!} * (x-x_0)^3\)
Entsprechend mit \(f'''(x) = \frac{2}{x^3}\) ; \(3! = 6\) und \(x_0 = 1\) oder?   ─   anonymba22d 04.02.2021 um 14:40
\(\frac{1}{3*(ξ(x))^3} * (x-1)^3\)   ─   anonymba22d 04.02.2021 um 14:45

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