Mathematik-Präsentation und Involutorisches Element

Erste Frage Aufrufe: 114     Aktiv: 28.05.2021 um 18:06

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Hallo, ich bin gerade dabei, eine Präsentation über Algebra und Lineare Algebra zu erstellen, da wollte ich fragen, ob die aktuelle PowerPoint-Folie alle richtigen Formeln enthält und welche Formel ich unter "Involutorisches Element" hinzufügen sollte?

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Eine Involution ist für gewöhnlich ein Element der Ordnung zwei, d.h. \( a\cdot a = 1\). Ein typisches Beispiel ist die reelle Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\). Es gilt nämlich \( f(f(x)) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x = \operatorname{id}\) Aber du musst hier aufpassen. Beim Inversen Element stimmt was nicht. Für gewöhnlich schreibt man: zu jedem Element \(a\) deiner betrachteten algebraischen Struktur existiert ein eindeutig bestimmtes inverses Element \(b\) so dass gilt \( ab = 1\) und wir schreiben dann \( b = a^{-1}\).
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Können Sie mir vielleicht ein leichteres Beispiel für eine Involution nennen? :) Danke!   ─   zowe 27.05.2021 um 14:48

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Du meinst für eine Involution? Wie gesagt, eine Involution ist eine Abbildung (oder ein Element einer algebraischen Struktur wie z.B. einer Gruppe oder eines Vektorraums) das bei hintereinanderausführung die Identität (das neutrale Element) liefert.

Das einfachste Beispiel ist die Abbildung \( f(x) = \frac{1}{x}\). Verkettet man diese Funktion mit sich selbst \( f(f(x))\) so erhält man die Funktion (Identität) \(x\).

Spiegelungen an Hyperebenen sind ebenfalls Involutionen. Warum? Betrachte z.B. den \( \mathbb{R}^2\) und nun betrachte alle Spiegelungen von Punkten entlang der \(x\)-Achse. Nimm einen bebliebigen Punkt \(v \in \mathbb{R}^2\) in der oberen Halbebene, meinetwegen \( v= (2,2)\). Wenn du diesen Punkt entlang der \(x\)-Achse nun spiegelst, landest du bei \( w = (2,-2)\). Wenn du diesen Punkt jetzt wieder spiegelst, landest du dort, wo du ganz am Anfang warst, nämlich bei \(v\).

Spiegelungen definieren eine Gruppe (das ist eine Untergruppe der Isometrien in \(\mathbb{R}^2 \) in diesem Fall). Das heißt, jede Spiegelung ist ein Gruppenelement, nennen wir die Gruppe der Spiegelungen einfach mal \(S\). Jede Spiegelung \(s\) entlang der \(x\)-Achse ist also ein Element der Gruppe \(S\). Nennen wir doch die Spiegelung an der \(x\)-Achse einfach mal \(s_x\).

Spiegeln wir nun \(v\) so wie vorhin durch \(s_x\), so erhalten wir \( s_x(v) = w\). Wenn wir nun \( w\) nochmal an der x-Achse spiegeln, haben wir gesehen, dass wir wieder bei \(v\) landen, d.h. \( s_x(w) = v\).

Das heißt, wenn wir zwei mal hintereinander spiegeln, ist das exakt dasselbe, als hätten wir nichts getan:

\(s_xs_x = e\)

Hier bezeichnet \(e\) einfach das neutrale Element.

Dies ist übrigens ein recht schönes Beispiel einer so genannten Gruppenwirkung. Hier wirkt die Gruppe der Spiegelungen auf den euklidischen Vektorraum \(\mathbb{R}^2\). Nur so am Rande.

  ─   anonym 28.05.2021 um 03:47

Herzlichen Dank! Könnten Sie mir ein Beispiel mit dem inversen Element geben, wo die Variable a einen Wert hat, dann verstehe ich es 100%! :) Herzlichen Dank!   ─   zowe 28.05.2021 um 14:33

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Bin nicht ganz sicher, was du meinst. Es gibt in den natürlichen Zahlen \( \mathbb{N}\) z.B. keine additiven oder multiplikativen Inverse, denn das additive Inverse zu \( 3\) wäre \(-3\), das ist keine natürliche Zahl. \(\mathbb{N}\) ist also keine Gruppe. In \( \mathbb{Z}\) existieren additive Inverse, aber keine multiplikativen Inverse, ein multiplikatives Inverses zur \(3\) wäre \(\frac{1}{3}\), das ist keine ganze Zahl, da aber additive Inverse existieren, bildet \((\mathbb{Z},+)\) eine additive Gruppe. In \( \mathbb{R}\) existieren sowohl additive als auch multiplikative Inverse. Bekanntlich ist \( \mathbb{R}\) ein Körper.   ─   anonym 28.05.2021 um 17:33


Ich meine ob Sie mir die Formel mit eingesetzten Werten erklären könnten? b = a^-1

Wie füge ich LaTex hier ein?
  ─   zowe 28.05.2021 um 17:42

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LaTeX-Umgebung kannst du mit "\ (" und "\ )" einfügen, aber ohne die Leerzeichen jeweils zwischen dem Schrägstrich und der Klammer.

Es gilt folgende Regel: Besitzt ein element \( a \) deiner Gruppe/Ring/Körper ein _eindeutig bestimmtes_ Inverses b, so dass gilt \(a\circ b = 1\) wobei \( \circ\) deine Gruppenoperation ist (d.h. das kann \( +\) oder auch \( \cdot\) bedeuten und \(1 \) ist das neutrale Element, das kann \( 0 \) oder \(1 \) sein, je nach dem, ob deine Operation Addition oder Multiplikation ist), so kannst du anstelle von \( b\) auch direkt \( a^{-1}\) schreiben. Da \(b \) eindeutig bestimmt ist, darfst du halt \( b = a^{-1}\) definieren.

Kurzfassung: Hat jedes Element \( a \in G\) ein eindeutig bestimmtes Inverses \(b \) so dass \( ab = 1\) so gilt \( b = a^{-1}\)

Konkretes Beispiel: Betrachte die additive Gruppe \( (\mathbb{Z},+)\). Dort hat jede ganze Zahl \(z \) ein eindeutig bestimmtes Inverses, nämlich \( -z\). Statt \(-z\) könnten wir auch ganz eifnach \( z^{-1}\) schreiben. Aber man einigt sich darauf, dass man bei additiven Gruppen (also Gruppen wo die Gruppenoperation \(+\) ist, so wie in diesem Fall) dass man lieber \( -z\) schreibt, statt \(z^{-1}\). Aber beides bedeutet dasselbe.
  ─   anonym 28.05.2021 um 18:06

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