Hallo,

Statistik ist leider nicht unbedingt mein Steckenpferd, aber versuchen wir es mal zusammen. 

Ob ein Test linksseitig oder rechtsseitig ist hängt prinzipiell ja nur von der Formulierung der Hypothese ab. Also würde ich schon sagen, dass hier auch ein linksseitiger Test zum Erfolg führen kann. Das selbe würde ich auch zu dem Test der Mittelwertsunterschiede sagen. Woher hast du denn das diese rechtsseitig sein müssen? 
Vielleicht hat man das durch eine Konvention so festgelegt. 

Bei 3.2 hast du die Hypothese \( H_0 : \rho = 0 \). Wäre das nicht sogar eher ein beidseitiger Test? 
Man könnte den Betrag von \( \rho \) nehmen. Dann könntest du als Gegenhypothese \( \vert \rho \vert > 0 \) setzen. 

Der Korrelationskoeffizient gibt meines Wissens nur an, ob und wenn ja in wie weit die betrachteten Merkmale einen linearen Zusammenhang haben. Was meinst du dort mit Rechtsseitigkeit?

Grüße Christian

Hallo sarawiwi,

es hat etwas gedauert, aber ich habe jetzt Deine Aufgaben durchgerechnet. Die haben es in sich! Das fängt mit Aufgabe 3.1 schon an. Ich gehe jetzt einfach mal medias in res.

Aufgabe 3.1

Bekannt ist:

r = 0,363
n = 102

Es soll ein Konfidenzintervall bestimmt werden, in dem mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 Prozent der Grundgesamtheitsparameter \(\rho\) liegt.

Das folgende stützt sich auf Bortz 2005:219–220.

Zunächst wird r nach der Fischer-Transformation in einen Z-Wert umgewandelt. Achtung! Es handelt sich nicht um einen z-Wert, der eine bestimmte Fläche unter der Standardnormalverteilung angeben würde. Der Z-Wert nach der Fischer-Transformation berechnet sich nach Formel (1). Siehe dazu Bortz 2005:219.

$$Z=\frac{1}{2}\cdot\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right) \tag{1}$$

\(\ln\) ist der natürliche Logarithmus, das heißt der Logarithmus zur Basis \(\mathrm{e}\). Das ist die Eulersche Zahl (irrational, ungefähr 2,718). Außerdem muss die Standardabweichung, die zu der Z-Verteilung gehört, nach Formel (2) geschätzt werden.

$$\sigma_{Z}=\sqrt{\frac{1}{n-3}} \tag{2}$$

Der dritte Wert, der nötig ist, ist \(z_{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\). Das ist der Sigma-Faktor, der benötigt wird, wenn an beiden Enden der Normalverteilung noch \(\frac{\alpha}{2}\) übrig bleiben soll. Es wird also der z-Wert benötigt, der 99,5 Prozent der Normalverteilung abdeckt. Dieser Wert kann in der folgenden Tabelle abgelesen werden:

https://www.risk-research.de/fileadmin/user_upload/NV_Quantile.pdf

Es ist 2,5758.

Jetzt kann das Konfidenzintervall für die Z-Verteilung nach Formel (3) berechnet werden.

$$\Delta_{\textrm{crit}_{(Z)}=Z \pm z_{\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \cdot \sigma_{Z}} \tag{3}$$

Schließlich müssen der untere und der obere Wert des Konfidenzintervalls noch von der Z-Verteilung wieder in die Verteilung, aus der r ursprünglich stammt, zurücktransformiert werden. Dazu werden jeweils der untere und der obere Wert als Z in Formel (4) eingesetzt.

$$r=\frac{\mathrm{e}^{2Z}-1}{\mathrm{e}^{2Z}+1} \tag{4}$$

Aufgabe 3.2

Bekannt ist:

r = 0,353
\(\rho\) = 0 (Das ist die Annahme, die geprüft werden soll.)
\(\sigma = \sigma_{Z}\) = 0,1005 (aus Aufgabe 3.1 bekannt)
n = 102
\(u_{\alpha}\) = 2,5758 (wurde in Aufgabe 3.1 bereits bestimmt)

Nullhypothese: \(\rho=0\)

Das folgende stützt sich auf Clauß/Ebner 1968:176. Für den Test, ob sich ein Mittelwert in der Stichprobe von einem bekannten Mittelwert in der Grundgesamtheit signifikant unterscheidet oder nicht geben Clauß/Ebner 1968:176 die Testgröße in Formel (5) an.

$$u=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma}\cdot\sqrt{n} \tag{5}$$

Das lässt sich für den vorliegenden Zweck leicht in Formel (6) umformen.

$$u=\frac{r-\rho}{\sigma_{Z}}\cdot\sqrt{n} \tag{6}$$

Als Kriterium gilt:

Wenn \(|u|<u_{\alpha}\) ist, dann wird die Nullhypothese angenommen.
Wenn \(|u|\geq u_{\alpha}\) ist, dann wird die Nullhypothese zurückgewiesen.

Aufgabe 3.3

Wenn das in Aufgabe 3.1 berechnete Konfidenzintervall \(\rho=0\) nicht einschließt, dann wird die Nullhypothese zurückgewiesen.

Aufgabe 3.4

Die Versicherungsgesellschaft ist hier etwas merkwürdig vorgegangen. Zu erwarten wäre gewesen, dass die 102 Mitarbeiter alle vor der Schulung befragt werden, dann zur Schulung geschickt und nach der Schulung wieder befragt werden. Das wären verbundene (= abhängige) Stichproben gewesen, weil in jedem Datensatz einmal der Wert vor der Schulung und einmal der Wert nach der Schulung als jeweils separate Variable auftaucht. In der Datenmatrix sähe das so aus, wie in Tabelle 1.

Tabelle 1: Datenmatrix bei verbundenen Stichproben
\(
\begin{array}{|l|ccccccc|}
\hline
\textrm{Datensatz} & \textrm{Variable 1} & \textrm{Variable 2} & \cdots & \textrm{vor Schulung} & \textrm{nach Schulung} & \cdots & \textrm{Varable m}\\
\hline
\textrm{Mitarbeiter 1} & & & \cdots & \textrm{Wert 1} & \textrm{Wert 2} & \cdots & \\
\textrm{Mitarbeiter 2} & & & \cdots & \textrm{Wert 1} & \textrm{Wert 2} & \cdots & \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
\textrm{Mitarbeiter n} & & & \cdots & \textrm{Wert 1} & \textrm{Wert 2} & \cdots & \\
\hline
\end{array}
\)

Das ist nicht der Fall. Statt dessen gibt es 51 Mitarbeiter die nicht geschult wurden und 51 andere (!) Mitarbeiter, die geschult wurden. Es handelt sich also um unabhängige Stichproben. Das bedeutet, die Datenmatrix sieht so aus, wie in Tabelle 2.

Tabelle 2: Datenmatrix bei unabhängigen Stichproben
\(
\begin{array}{|l|ccccccc|}
\hline
\textrm{Datensatz} & \textrm{Variable 1} & \textrm{Variable 2} & \cdots & \textrm{Schulung} & \textrm{Motivation} & \cdots & \textrm{Varable m}\\
\hline
\textrm{Mitarbeiter 1} & & & \cdots & \textrm{0} & \textrm{Wert} & \cdots & \\
\textrm{Mitarbeiter 2} & & & \cdots & \textrm{1} & \textrm{Wert} & \cdots & \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
\textrm{Mitarbeiter n} & & & \cdots & \textrm{1} & \textrm{Wert} & \cdots & \\
\hline
\end{array}
\)

Das bedeutet: es gibt eine Gruppierungsvariable Schulung, die alle 102 befragten Mitarbeiter in zwei Gruppen einteilt: einmal 51 Mitarbeiter, die nicht geschult wurden und dann 51 andere Mitarbeiter, die geschult wurden.

Warum das jetzt so gemacht worden ist, und nicht mit verbundenen Stichproben, was bei dem Anliegen, herauszufinden, ob die Schulung einen Effekt auf die Motivation hat, naheliegend gewesen wäre, bleibt wohl das Geheimnis des Aufgabenstellers.

Bei unabhängigen Stichproben muss zunächst geprüft werden, ob in der Grundgesamtheit Varianzgleichheit vorliegt (was bedeuten würde, dass die Stichproben derselben Grundgesamtheit entstammen, hier den Mitarbeitern der Versicherungsgesellschaft).

Es gibt verschiedene Tests, mit denen das gemacht werden kann, wie den F-Test, den Levene-Test (den SPSS benutzt) oder den Bartlett-Test. Weil er einfach durchzuführen ist und ich ein Buch habe, in dem steht, wie das geht (Clauß/Ebner 1968:190–191), wird hier der F-Test durchgeführt.

Die Testgröße wird mit Formel (7) bestimmt.

$$F=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} \tag{7}$$

Im vorliegenden Fall ergibt das etwa 1,52.

Für den Vergleich mit einem Tabellenwert werden die Freiheitsgrade für Stichprobe 1 (\(\textrm{df}_{1}\)), die Freiheitsgrade für Stichprobe 2 (\(\textrm{df}_{2}\) ) und das Signifikanzniveau \(1-\alpha\) benötigt. Im vorliegenden Fall ist:

\(
\begin{array}{rclcl}
1-\alpha & = & 0,99\\
\textrm{df}_{1} & = & n_{1}-1 & = & 50\\
\textrm{df}_{2} & = & n_{2}-1 & = & 50
\end{array}
\)

Nach Clauß/Ebner 1968:343 entspricht das dem Tabellenwert 1,94.

Kriterium:

Wenn \(F<F_{\alpha;n_{1}-1;n_{2}-1}\), dann wird die Nullhypothese angenommen.
Wenn \(F\geq F_{\alpha;n_{1}-1;n_{2}-1}\), dann wird die Nullhypothese zurückgewiesen.

Im vorliegenden Fall ist die empirische Testgröße F (1,52) kleiner als der Tabellenwert F (1,94). Deshalb wird die Nullhypothese angenommen. Das heißt, es ist von gleichen Varianzen in der Grundgesamtheit auszugehen.

Wenn in der Vorlesung der t-Test für unabhängige Stichproben und unterschiedlichen Varianzen in der Grundgesamtheit verwendet worden ist (das geht so aus Deinen Aufzeichnungen, die Du gepostet hast, hervor), dann ist das nach dem, was ich berechnet habe, ein Fehler.

Stattdessen ist der t-Test für unabhängige Stichproben und gleichen Varianzen in der Grundgesamtheit zu verwenden. Die Testgröße \(t\) wird nach Formel (8) berechnet.

$$t=\frac{\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}}{\hat{\sigma}}\cdot\sqrt{\frac{n_{1}\cdot n_{2}}{n_{1}+n_{2}}} \tag{8}$$

Dabei ist \(\hat{\sigma}\) die geschätzte gemeinsame Standarsabweichung in der Grundgesamtheit. Diese Größe wird nach Formel (9) bestimmt.

$$\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{\left(n_{1}-1\right)\cdot s_{1}^{2}+\left(n_{2}-1\right)\cdot s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}} \tag{9}$$

So, wie ich das berechnet habe, liegt die Testgröße t in diesem Fall bei etwa \(-0,052\).

Für den Tabellenwert werden zum einen \(1-\alpha\) für eine zweiseitige bzw. \(1-\frac{\alpha}{2}\) für eine einseitige Fragestellung und zum anderen die Freiheitsgrade benötigt. Da die Versicherungsgesellschaft wissen will, ob sich die Motivation der Mitarbeiter nach einer Schulung verbesert hat, liegt eine einseitige Fragestellung vor. Die Anzahl der Freiheitsgrade beträgt \(\textrm{df}=n_{1}+n_{2}-2=100\). Gesucht ist also der Tabellenwert \(t_{1-\frac{\alpha}{2}=0,995;\textrm{df}=100}\). Nach dieser Tabelle:

http://eswf.uni-koeln.de/glossar/tvert.htm

ist das 2,626.

Kriterium:

Wenn \(|t|<t_{\alpha;\textrm{df}}\), dann wird die Nullhypothese angenommen.
Wenn \(|t|\geq t_{\alpha;\textrm{df}}\), dann wird die Nullhypothese zurückgewiesen.

Die empirische Testgröße ist kleiner als der Tabellenwert. Deshalb wird die Nullhypothese angenommen. Es gibt keinen signifikanten Unterschied in der Motivation zwischen Mitarbeitern, die geschult wurden und Mitarbeitern, die nicht geschult wurden.

So, jetzt ist der Kram fertiggerechnet. Ich hoffe, ich konnte etwas zur Klärung beitragen.

Viele Grüße
jake2042



Literatur

Bortz, Jürgen, (6)2005: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. Heidelberg: Springer

Clauß, Günter und Heinz Ebner, 1968: Statistik für Psychologen, Pädagogen und Soziologen. Berlin (DDR): Volk und Wissen

Wow! Danke!!