$X,Y,Z$ i.i.d $U(0,1)$ Was ist $P[X > Y, X > Z]$

Aufrufe: 54     Aktiv: 21.08.2021 um 20:05

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Gegeben sind drei Zufallsvariabeln $X,Y,Z$ i.i.d $U(0,1)$.  Gesucht ist $P[X > Y, X > Z]$ wobei die Lösung besagt, dass dies gleich $\frac{2}{3!}$ sein soll. Leider verstehe ich nicht weshalb dies so ist.

Edit: Habe die Lösung gefunden. Man kann einen Zahlenstrahl aufmalen und dann X für fixe Y und Z platzieren. Man kann X auf insgesamt 6 Möglichkeiten zwischen zwei fixen Werten platzieren. Davon erfüllen zwei die geforderten Ungleichungen.
gefragt

Student, Punkte: 140

 

Schon doof, dass man seine eigenen Fragen nicht beantworten kann.   ─   hermionestranger 21.08.2021 um 13:00

Die Argumentation haut aber nicht hin, da es im Intervall $(0,1)$ unendlich viele Zahlen gibt. Folglich kannst du $X$ auf unendlich viele Stellen platzieren.   ─   cauchy 21.08.2021 um 19:23
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Da die eigene Antwort etwas missverständlich ist, nochmal ausführlicher: 

Es ist $P(X>Y,X>Z)=P(Y<Z<X) + P(Z<Y<X)=\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}$, da $P(X<Y<Z)=\frac{1}{3!}$ für jede beliebige der $3!$ Anordnungen von $X$, $Y$ und $Z$.
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Jetzt bin ich verwirrt. Welche drei Anordnungen gibt es für X,Y,Z?   ─   hermionestranger 21.08.2021 um 19:52

Und gilt das für alle Zufallsvariabeln solange sie i.i.d. sind?   ─   hermionestranger 21.08.2021 um 19:55

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$X< Y< Z, X< Z< Y, Y< X< Z, Y< Z< X, Z< X< Y$ und $Z< Y< X$. Und ja, es gilt für alle ZV, die i.i.d. sind, denn eine der Anordnungen muss ja - unabhängig von der Verteilung - eintreten. Und da die ZV unabhängig sind, treten alle Anordnungen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein. Von diesen Anordnungen sind jedoch nur zwei für das Ereignis aus deiner Frage relevant; das ist auch das, was du in deinem Edit meintest, aber mathematisch sehr schwammig formuliert war.   ─   cauchy 21.08.2021 um 20:03

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