Hi,

ich dachte mir mal, eine Aufgabe welche ich vor einiger Zeit mal gelöst hatte, dieses mal zur Übung via Fallunterscheidung mit vier Fällen zu lösen. Dabei hat sich jedoch irgendwo einen Fehler in der Rechnung eingeschlichen: \(|x^2+2x-1|=|x|\)

Daraus folgt folgende Betrachtung:
\[
|x^2+2x-1| =
\left\{
    \begin{array}{ll}
        (x^2+2x-1)  & \text{wenn } x^2+2x-1\ge 0 \to x_1 \ge \sqrt{2} -1\ ;\ x_2 \le -1 - \sqrt{2}
\\
        -(x^2+2x-1) & \text{wenn } x^2+2x-1\le 0 \to  -1 - \sqrt{2} \le x \le \sqrt{2} - 1
    \end{array}
\right\}
\]
\[
|x| =
\left\{
    \begin{array}{ll}
        (x)  & \text{wenn } x\ge 0
\\
        -(x) & \text{wenn } x\le 0
    \end{array}
\right\}
\]

Daraus habe ich folgende 4 Fälle gebildet:
1. Fall: \(x \le -1 - \sqrt{2}\)
\[
(x^2+2x-1)=(-x) \\
x_1 = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}\ \vee\ x_2 = - \frac{3+\sqrt{13}}{2}
\]

2. Fall: \(-1 - \sqrt{2} \le x \le 0\)
\[
-(x^2+2x-1)=-(-x) \\
x_3 = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}\ \vee\ x_4 = - \frac{3+\sqrt{13}}{2}
\]

3. Fall: \(0 \le x \le \sqrt{2} - 1\)
\[
-(x^2+2x-1)=(-x) \\
x_5 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\ \vee\ x_6 = - \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\]
4. Fall: \(0 \le x \le \sqrt{2} - 1\)
\[
(x^2+2x-1)=(-x) \\
x_7 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\ \vee\ x_8 = - \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\]

Anhand dessen liegt die Lösung \(x_2\) innerhalb der ihr zugewiesen Intervallsgrenzen, während alle anderen außerhalb dieser liegen. Ein Fehler, welcher mir bereits aufgefallen ist, ist dass das Intervall für den 3. und 4. Fall gleich definiert sind. Wie die richtige Definition aussieht, weiß ich gerade allerdings auch nicht.
Aufgrund eines Blicks in die Lösung liegen die Fehler vermutlich alle in der Definition meiner Intervalle für die einzelnen Fälle.