Betragsgleichung mit Fallunterscheidung lösen

Aufrufe: 105     Aktiv: 29.07.2022 um 03:07

0
Hi,

ich dachte mir mal, eine Aufgabe welche ich vor einiger Zeit mal gelöst hatte, dieses mal zur Übung via Fallunterscheidung mit vier Fällen zu lösen. Dabei hat sich jedoch irgendwo einen Fehler in der Rechnung eingeschlichen: \(|x^2+2x-1|=|x|\)

Daraus folgt folgende Betrachtung:
\[
|x^2+2x-1| =
\left\{
    \begin{array}{ll}
        (x^2+2x-1)  & \text{wenn } x^2+2x-1\ge 0 \to x_1 \ge \sqrt{2} -1\ ;\ x_2 \le -1 - \sqrt{2}
\\
        -(x^2+2x-1) & \text{wenn } x^2+2x-1\le 0 \to  -1 - \sqrt{2} \le x \le \sqrt{2} - 1
    \end{array}
\right\}
\]
\[
|x| =
\left\{
    \begin{array}{ll}
        (x)  & \text{wenn } x\ge 0
\\
        -(x) & \text{wenn } x\le 0
    \end{array}
\right\}
\]

Daraus habe ich folgende 4 Fälle gebildet:
1. Fall: \(x \le -1 - \sqrt{2}\)
\[
(x^2+2x-1)=(-x) \\
x_1 = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}\ \vee\ x_2 = - \frac{3+\sqrt{13}}{2}
\]

2. Fall: \(-1 - \sqrt{2} \le x \le 0\)
\[
-(x^2+2x-1)=-(-x) \\
x_3 = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}\ \vee\ x_4 = - \frac{3+\sqrt{13}}{2}
\]

3. Fall: \(0 \le x \le \sqrt{2} - 1\)
\[
-(x^2+2x-1)=(-x) \\
x_5 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\ \vee\ x_6 = - \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\]
4. Fall: \(0 \le x \le \sqrt{2} - 1\)
\[
(x^2+2x-1)=(-x) \\
x_7 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\ \vee\ x_8 = - \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\]

Anhand dessen liegt die Lösung \(x_2\) innerhalb der ihr zugewiesen Intervallsgrenzen, während alle anderen außerhalb dieser liegen. Ein Fehler, welcher mir bereits aufgefallen ist, ist dass das Intervall für den 3. und 4. Fall gleich definiert sind. Wie die richtige Definition aussieht, weiß ich gerade allerdings auch nicht.
Aufgrund eines Blicks in die Lösung liegen die Fehler vermutlich alle in der Definition meiner Intervalle für die einzelnen Fälle.
gefragt

Student, Punkte: 42

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Generelles Vorgehen: Bestimme die Stellen, an denen der Ausdruck innerhalb der Beträge das Vorzeichen wechselt. Das hast Du gemacht und $-1-\sqrt{2},0,-1+\sqrt{2}$ gefunden.
(In der ersten Zeile Deiner geschweiften Klammer muss aber beide Male $x$ anstelle von $x_1$ und $x_2$ stehen).
Diese drei Stellen markiere auf der Zahlengeraden (dafür habe ich sie schon der Größe nach geordnet), sie teilen die ZG ein in vier Teile, diese definieren dann die vier Fälle.
Damit ist schonmal klar, wie die Überschrift für den 4. Fall aussehen muss.
Weiteres:
Im 2. Fall muss rechts $-x$ stehen ($-(-x)$ kommt sowieso nirgendwo vor).
Im 3. Fall muss rechts $x$ stehen und im 4. auch.

Rechne das mit diesen Korrekturen nochmal durch. Dann müsste eigentlich alles passen.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 27.75K

 

Muss dort nicht statt \(1-\sqrt{2}\) ein \(\sqrt{2}-1\) oder \(-1 + \sqrt{2}\) stehen?
Und jap, habe mit diesen Korrekturen die Lösung gefunden. :)
  ─   shadow 29.07.2022 um 01:23

1
Ja, stimmt, sorry, ich korrigiere das oben in der Antwort.   ─   mikn 29.07.2022 um 02:58

Kommentar schreiben