Gut: betrachte erstmal den Ausdruck vor der Klammer: in beiden Fällen, also + oder - Unendlich wird er negativ, x^2 stets positiv, aber das - davor macht es neg. 

jetzt kommt der Ausdruck in der Klammer: er liegt bei lim--> ♾ sowohl für pos wie auch neg  ♾ ja durch die Brüche stets sehr nah an 1. und jetzt kommt die folgende Überlegung, bei + ♾ ist der Klammerausdruck knapp>1 , aber immer positiv . 
bei - ♾ ist es praktisch genauso, jedoch von "links" der 1, also minimal < 1, aber stets nah dran an der 1 und > 0.

somit multiplizierst du den Ausdruck vor der Klammer , der gegen - unendlich geht, mit etwas um +1. es bleibt also beim lim--> -+ ♾ = - ♾ 

Vielleicht hilft dir folgendes:

Es gibt auch für den Limes Rechenregeln. (Die alle aus der Stetigkeit folgen)

So gilt z.B. \( \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\cdot g(x)=\left(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\right)\cdot\left(\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)\right)=f(x_0)\cdot g(x_0)\)

Wäre in deinem Beispiel also 

\(\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(-x^2-4x-3) =\lim_{x\rightarrow\pm\infty}-x^2(1+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2})= \lim_{x\rightarrow\pm\infty}(-x^2)\cdot\lim_{x\rightarrow\infty\pm}(1+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2})\)

Allgemein gilt für \( lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{1}{x^n}=0\) für \( n>0\) oder einfach gesagt "Eine Zahl geteilt durch eine unendlich große Zahl ist ungefähr Null"

Also bleibt in der rechten Klammer nur noch \( 1\) übrig bzw. \( \lim_{x\rightarrow\pm\infty}1=1\) (du hast schließlich keine x-Abhängigkeit in dem Term.)

Bleibt nur noch \( \lim_{x\rightarrow\pm\infty}-x^2\) zu untersuchen. Das ist auch recht einfach. Es gilt \( \lim_{x\rightarrow\pm\infty}x^n=\pm\infty\) für \( n>0\). Jetzt müssen wir uns nur noch um das Vorzeichen Sorgen machen. Zunächst einmal wissen wir, dass eine quadrierte Zahl immer positiv ist. Also ist eine unendliche große (positive/negative) Zahl ebenfalls positiv und unendlich groß. Nun müssen wir nur zusätzlich das Minuszeichen vor dem \(x^2\) beachten und kommen darauf, dass der Grenzwert \( -\infty\) ist. Und "unendlich" mal irgendeine Zahl ist ebenfalls unendlich.

Hoffe das verwirrt dich nicht noch mehr. Hier hast du alle Rechenregeln mit dem Limes zusammengefasst.

https://www.mathebibel.de/grenzwerte-rechenregeln