Vielleicht hilft dir folgendes:
Es gibt auch für den Limes Rechenregeln. (Die alle aus der Stetigkeit folgen)
So gilt z.B. \( \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\cdot g(x)=\left(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\right)\cdot\left(\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)\right)=f(x_0)\cdot g(x_0)\)
Wäre in deinem Beispiel also
\(\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(-x^2-4x-3) =\lim_{x\rightarrow\pm\infty}-x^2(1+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2})= \lim_{x\rightarrow\pm\infty}(-x^2)\cdot\lim_{x\rightarrow\infty\pm}(1+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2})\)
Allgemein gilt für \( lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{1}{x^n}=0\) für \( n>0\) oder einfach gesagt "Eine Zahl geteilt durch eine unendlich große Zahl ist ungefähr Null"
Also bleibt in der rechten Klammer nur noch \( 1\) übrig bzw. \( \lim_{x\rightarrow\pm\infty}1=1\) (du hast schließlich keine x-Abhängigkeit in dem Term.)
Bleibt nur noch \( \lim_{x\rightarrow\pm\infty}-x^2\) zu untersuchen. Das ist auch recht einfach. Es gilt \( \lim_{x\rightarrow\pm\infty}x^n=\pm\infty\) für \( n>0\). Jetzt müssen wir uns nur noch um das Vorzeichen Sorgen machen. Zunächst einmal wissen wir, dass eine quadrierte Zahl immer positiv ist. Also ist eine unendliche große (positive/negative) Zahl ebenfalls positiv und unendlich groß. Nun müssen wir nur zusätzlich das Minuszeichen vor dem \(x^2\) beachten und kommen darauf, dass der Grenzwert \( -\infty\) ist. Und "unendlich" mal irgendeine Zahl ist ebenfalls unendlich.
Hoffe das verwirrt dich nicht noch mehr. Hier hast du alle Rechenregeln mit dem Limes zusammengefasst.
https://www.mathebibel.de/grenzwerte-rechenregeln
In der Klammer bleibt es bei +1, allerdings nähern wir uns durch den 4/x Ausdruck, der ja negativ ist bei - ♾ nur sehr klein, der Ausdruck danach 3/x ^2 ist positiv auch bei - ♾ und noch kleiner, als der x Ausdruck davor, also geht der Wert in der Klammer von 0,5 auf 0,6, auf 0,8 und irgendwann auf 0,9999999
Also wird bei - ♾ der Gesamtausdruck auch mit beinahe +1 multipliziert ,!im einen Fall mit 1,00000000000001 und im anderen Fall mit 0,999999999999
Soweit klar ? ─ markushasenb 11.08.2020 um 17:33