Lösungsintervall Anfangswertproblems

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Hey, ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

"Geben Sie ein möglichst großes Intervall $I \subset \mathbb{R}$ an, auf dem die Lösung $y(t)$ des Anfangswertproblems $y'''' + \frac{1}{t}y'' + y = e^t$ mit $y(1) = 0,\ y'(1) = 2,\ y''(1) = 1,\ y'''(1) = \pi$ existiert, Begründen Sie Ihre Wahl. Unter welchen Voraussetzungen hat das System $y' = A(t)y + b(t)$ eine eindeutige Lösung?"

Zu letzterer Frage: ich weiß, dass $y' = A(t)y + b(t)$ eine eindeutige Lösung besitzt, falls A(t) und b(t) stetig sind.

Was hab ich bis jetzt gemacht:

1) Umschreiben in ein System erster Ordnung:
$x_1 = y$
$x_2 = y' = x_1'$
$x_3 = y'' = x_2'$
$x_4 = y''' = x_3'$
$x_4' = y'''' = e^t - y - \frac{1}{t}y'' = e^t - x_1 - \frac{1}{t}x_3$

2) in Form $x' = A(t)x + b(t)$ bringen.

Mit $x = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}$

folgt

$x' = \left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -\frac{1}{t} & 0 \end{matrix} \right)\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\e^t \end{pmatrix}$

Nur jetzt bin ich ziemlich ratlos wie es weiter geht :/ Wie kommen die Anfangsbedingungen ins Spiel. Logischerweise wird mir das 1/t einen Strich durch die globale Lösung machen.

Danke schon mal für die Hilfe!
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Von Lösen steht da ja gar nichts. Nutze dein "ich weiß" und gib dazu das Intervall an. Größer geht es offensichtlich nicht, also fertig.
EDIT: Für das Intervall gibt es zwei Möglichkeiten. Überlege und argumentiere, warum nur eines in Frage kommt.
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Hab gestern noch mit einem Kollegen darüber gesprochen. Wir sind uns ziemlich sicher, dass $ I_{max} = (0,\infty)$. Da es im negativen Bereich ja eine andere Lösung sein muss und unsere Anfangswerte mit $t=1$ existieren müssen.   ─   grammel vor 4 Tagen, 1 Stunde

Ja, richtig. Und weil t=0 die einzige Unstetigkeitsstelle ist.   ─   mikn vor 4 Tagen, 1 Stunde

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