Einstieg Definitionslücken, Polstellen

Aufrufe: 262     Aktiv: 21.02.2023 um 10:28
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Heyho, folgendes Problem:
ich soll die Defintionslücken von (x + 3) / (x^2 - 9) herausfinden.
Das wäre ja dann x=-3 (keine Polstelle) und x=3 (Polstelle mit VZW), da dann im Nenner bei beidem 0 rauskommen würde.
Wenn ich jedoch die Gleichung etwas vereinfachen würde:
(x + 3) / (x^2 - 9) = (x  +3) / ((x + 3)*(x - 3)) ==> (x + 3) kürzen, also: 1 / (x - 3)
und mir nun die Definitionslücken anschaue, dann kommt nur x = 3 (Polstelle mit VZW) raus.
Warum ist jedoch nicht mehr die Definitionslücke x=-3 (keine Polstelle) mit der vereinfachten Funktion rechnerisch sichtbar?
Vielen Dank im Vorraus, ich hoffe es ist verständlich.
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2 Antworten
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weil du durch das Umformen zunächst eine andere Funktion daraus gemacht hast.

Daher muss man den Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion immer mitübernehmen, dann passt das wieder.

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Aber ist (x + 3) / ( x^2 - 9) nicht dasselbe, wie 1 / ( x - 3)? Bei GeoGebra sehen die Graphen gleich aus... Bloß rechnerisch fehlt eben die eine Definitionslücke   ─   tmt.nagel 20.02.2023 um 13:18
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vereinfacht gesagt, hat die Ursprungsfunktion ein "Loch im Graphen" bei x=-3; das lässt sich aber natürlich nicht darstellen, kennzeichnen kann man es durch eine Unterbrechung oder Kringel, wenn man selbst zeichnet.   ─   honda 20.02.2023 um 13:21
oder anders gefragt: wie übernehme ich den Defintionsbereich der ursprünglichen Funktion? Reicht das, wenn ich das einfach hinter die Funktion schreibe, also:
1 / (x - 3) mit IR/{ -3 }   ─   tmt.nagel 20.02.2023 um 13:24
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als Definitionsbereich schreiben, also mit ID=...   ─   honda 20.02.2023 um 13:27
Danke, wusste ich, bloß hab ich den auf der Tastatur nicht gefunden 😅   ─   tmt.nagel 20.02.2023 um 20:47
der \ ist bei meiner Tastatur neben dem ß   ─   honda 21.02.2023 um 10:28

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Man nennt das auch hebbare Polstelle. Zwei Funktionen sind gleich, wenn Funktionsvorschrift und Definitionsbereich identisch sind. Du sprichst hier von verschiedenen Funktionen, weil sie versch. Defbereich haben. Im Plot sehen die gleich aus, das liegt aber an der Darstellung. Was gleich aussieht, muss nicht gleich sein. Und Du weißt ja, dass sie nicht gleich sind.
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heißt das nicht hebbare Definitionslücke?   ─   honda 20.02.2023 um 13:26
Bei mir im Buch heißt es hebbare Definitionslücke...Auf jeden Fall Danke euch beiden!   ─   tmt.nagel 20.02.2023 um 13:33

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