Zeigen dass eine gegebene Menge abzählbar ist

Aufrufe: 557     Aktiv: 17.10.2022 um 12:23

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Die Aufgabenstellung lautet:

Sei A eine Menge. Zeige das A abzählbar ist. A ist definiert durch:

Ich weiss folgendes: Z^n und Q^n ist abzählbar.
Mein Ansatz: Ich weiss, dass ich die Koeffizienten (aus Q) der Polynome so darstellen kann (a0,a1,...,an-1) und das ist dann ein Element aus Q^n. Kann ich jetzt folgern, dass der Körper der rationalen Polynome abzählbar ist, weil Q^n abzählbar ist? Und dann daraus folgern das der allgemeine Quotient aus 2 Polynomen dann auch abzählbar ist?

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Student, Punkte: 93

 

Gelten endliche Mengen bei euch als abzählbar oder nicht? Es sind unterschiedliche Definitionen von "abzählbar" im Umlauf.   ─   tobit 12.10.2022 um 07:57

@mikn Doch, die genaue Definition der Abzählbarkeit hat etwas Auswirkungen auf den zu führenden Beweis. Die Argumentation läuft ja darauf hinaus, dass wir im letzten Schritt eine Surjektion $B\times B\to A$ finden (mit B die Menge der Polynome mit rationalen Koeffizienten). Wenn $B\times B$ als abzählbar unendlich identifiziert ist, folgt daraus, dass $A$ höchstens abzählbar ist. Die Frage ist nun, ob wir damit dann fertig sind oder noch weitere Argumente anführen müssen, um zu zeigen, dass $A$ abzählbar unendlich ist.   ─   tobit 12.10.2022 um 19:42

@tobit: alle endliche Mengen sind abzählbar bei "uns".   ─   aequus formidus 12.10.2022 um 21:55

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@don formidus: Danke. Das vereinfacht die Aufgabe etwas.

@mikn: Genau, so kann man argumentieren. (Im Falle der Definitionen "M abzählbar :<=> es existiert eine Bijektion $\mathbb{N}\to M$" und "M höchstens abzählbar :<=> es existiert eine Surjektion $\mathbb{N}\to M$ oder $M=\emptyset$" wäre noch der nichttriviale Beweis zu erbringen gewesen, dass "A unendlich und höchstens abzählbar" tatsächlich "A abzählbar" impliziert.)
  ─   tobit 13.10.2022 um 08:56
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1 Antwort
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Das kannst Du folgern, aber warum genau ist das so? Natürlich hängt es daran, dass Q abzählbar ist, aber wieso genau? Und vor allem: $n$ ist kein fester Grad.
Gut vorstellbar auch, dass es dazu Sätze in Deiner Vorlesung gibt.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.36K

 

Hallo Prof mikn. Vielen Dank für deine Antwort. Es gibt ein Satz der sagt: Wenn die Mengen A1,A2,...,An abzählbare Mengen sind, dann ist auch deren kartesisches Produkt abzählbar, sprich A1 x A2 x ... x An. Und da ich weiss, dass Q abzählbar ist muss somit auch Q x Q x ... x Q abzählbar sein (Q^n). Der Körper der Polynome (mit rationalen Koeffizienten) ist somit auch abzählbar, da deren Elemente aus Q^n sind. Und der Körper aus dem Quotienten von 2 Polynomen (mit rationalen Koeffizienten) ist Q^n x Q^n und damit auch abzählbar.
Ist das eine bessere Begründung?
  ─   aequus formidus 11.10.2022 um 20:41

Am Anfang sagen: Sei n (Element N) beliebig, oder?   ─   aequus formidus 11.10.2022 um 21:09

Dann sage ich, dass der Zähler aus Q^n für alle n in N ist und der Nenner aus Q^m für alle m in N ist. Hast du das gemeint?   ─   aequus formidus 11.10.2022 um 21:30

Vom Skript: (Satz) "Es seien A1, A2, ... ,An abzählbare Mengen, die alle bijektiv auf N abgebildet werden können. Dann ist das Produkt A1 x A2 x ... x An auch abzählbar."

In diesem Fall sind die unendlich abzählbaren Mengen eingeschlossen, oder nicht?
  ─   aequus formidus 11.10.2022 um 21:53

Dazu habe ich leider keinen Satz gefunden, aber könnte man dies nicht mit dem Diagonalverfahren zeigen?   ─   aequus formidus 11.10.2022 um 22:01

@mikn " Wir brauchen aber "Das Kreuzprodukt ABZÄHLBARER VIELER abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar." "
Das brauchen wir nicht und das Kreuzprodukt abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist im Allgemeinen nicht abzählbar.

@don formidus Sei für jede natürliche Zahl $n\in\mathbb{N}$ jeweils $B_n$ die Menge der Polynome vom Grad $\le n$ mit rationalen Koeffizienten und $B$ die Menge aller Polynome mit rationalen Koeffizienten. Du hast schon überlegt, dass die $B_n$ für jedes $n$ abzählbar sind;; zeigen möchtest du, dass $B$ abzählbar ist. Wie hängt $B$ nun mit den $B_n$ zusammen? Kannst du $B$ durch die $B_n$ ausdrücken?
  ─   tobit 12.10.2022 um 07:17

@mikn und @tobit: leider finde ich keinen anderen passenden Satz und ich finde auch nirgends ob "n" auch unendlich sein kann (im Satz). Eventuell ist das ein nicht allzu präziser Satz, wäre nicht das erste mal...
Aber; Es gibt doch eine Bijektion zwischen B und Bn, da "n" für alle natürlichen Zahlen steht?
  ─   aequus formidus 12.10.2022 um 21:54

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@don formidus: Habt ihr nicht den Satz behandelt, dass die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen abzählbar ist?
Wir haben mit $B_0,B_1,B_2,\ldots$ abzählbar viele abzählbare Mengen. Wie lautet die Vereinigung dieser Mengen?
  ─   tobit 13.10.2022 um 08:59

@tobit: Den Satz haben wir nicht behandelt, jedoch habe ich nun im Skript gefunden: Für alle n element N sei An eine abzählbare Menge, dann ist auch die Vereinigung über n=1 bis unendlich aller An abzählbar. Und damit müsste die Aufgabe gelöst sein.   ─   aequus formidus 17.10.2022 um 08:55

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.