"Was ist mit Urbild und Bild gemeint?"
Das Urbild ist der Definitionsbereich. Das Bild ist der Teil des Wertebereichs, der tatsächlich auch erreicht werden kann. Bei \(f:X\to Y\) ist Das Urbild \(X\) und das Bild lautet \[\text{img}(f)=\{f(x)\mid x\in X\}  \]
Für diese Definition könntest du aber auch die Wörter Urbild und Bild tauschen gegen Definitionsbereich und Wertebereich.

"was ist das für eine Schreibweise mit diesen Klammern?"
Da sind sehr viele Klammern. Einerseits steht \(x_n\to -\infty\) in Klammern. Das macht man nur um zwei Definitionen in einer zu erhalten. Man will sowohl \(\lim_{x\to+\infty }f(x)\), als auch \(\lim_{x\to-\infty }f(x)\) definieren. Die Voraussetzungen für letzteres sind dabei immer die, die in Klammern stehen.

Ansonsten gibt es noch \((x_n)\) und \( (f(x_n)) \). Dies sind Folgen. Du kannst sie betrachten als Funktionen von einer natürlichen Zahl \(n\) zu dem Wert \(x_n\) bzw. \(f(x_n)\).
Man kann es vergleichen mit Funktionen. Wenn man von einer Funktion \(f\) allgemein spricht/schreibt, dann schreibt man einfach \(f\) und nicht \(f(x)\). \(f(x)\) steht für den konkreten Wert, der dabei rauskommt, wenn man \(x\) einsetzt. Bei Folgen ist das ähnlich. Man schreibt \(x_n\), wenn man von einem konkreten Wert spricht und \((x_n)\), wenn man von der Folge als ganzes spricht.

Ich hoffe das konnte dir helfen.

Urbild ist quasi alles was du in die Funktion reinsteckst, also die x-Werte \( x_1,x_2,\ldots \)

Bild ist das, was rauskomt, also die ganzen Funktionswerte \(f(x_1),f(x_2),\ldots\)

Die Klammer Schreibweise bedeutet, dass es eine Folge ist (also eine Kurzschreibweise für \((x_n) = x_1,x_2,\ldots\)