Hallo,
ich rechne gerade eine weitere Aufgabe zum Gauß-Algorithmus. Die Aufgabe lautet:
f(x) = a \(x^4\) + b \(x^3\) + c \(x^2\) + d x +e Mit den fünf Punkten:
A (0 / 6), B (1 / -12), C (2 / -36), D (-3 / 84), E (4 / 210)
Erstellen Sie ein Gleichungssystem für die fünf Koeffizienten a, b, c, d und e und lösen Sie dieses mit Hilfe der Methode von Gauss.
Wenn ich das richtig verstehe, stell ich zunächst fünf Gleichungen (A bis E) auf. Die x Werte ersetze ich z.B. bei C mit \(2^4\) \(2^3\) \(2^2\) 2. Was mache ich aber mit dem e? Da ist ja gar kein x?? Ich habe mir gedacht, dass ich das e wohl einfach allein da stehen lasse.
Als Nächstes hab ich mir gedacht, da A für x eine Null hat, würde es vllt. Sinn machen diese Gleichung für die Stufenform gleich ganz unten hinzuschreiben. Ich habe also folgendes Gleichungssystem aufgestellt:
Zunächst nulle ich also die erste Spalte mit C - 16B, D - 81A und E - 256B
Dann nulle ich die zweite Spalte für die Stufenform: D - 13,5C und E - 24C
Um jetzt noch die dritte Spalte bei E zu nullen ist 90 : 48 = 1,875 ein blöder Wert
Deswegen hab ich stattdessen das für beide Zahlen das kgV = 720 genommen und dementsprechend 15E - 8D gerechnet:
Damit wäre e = 6. Folgend ist 420x + 595 * 6 = 1470 | -3570
420x = -2100 | :420
x = -5
Das klingt nach einem ganz schlüssigen Ergebnis. Muss ich jetzt noch weiterrechnen? Oder musste ich sowieso nur x berechnen und \(x^2\) , \(x^3\) , \(x^4\) ergibt sich ja dann automatisch?
Ich bin etwas verwirrt, denn wenn ich weiterrechne bei D wäre es ja:
720 \(x^2\) + 840 * (-5) + 980 * 6 = -8400
720 \(x^2\) - 4200 + 5880 = -8400 | - 1680
720 \(x^2\) = -10080 | :720
\(x^2\) = -14
Wie kann das sein? Müsste da nicht x * x = 25 herauskommen? Oder sind das doch grundverschiedene Variablen und es stimmt schon alles so und ich kann sorglos so weitermachen? War das mit e überhaupt richtig? Hätte ich vllt. doch nicht die Reihenfolge der Gleichungen umstellen sollen und hätte so deutlich effizienter rechnen können?
Ich hoffe meine Fragen sind verständlich, LG Arne
