Unterraum und Basis

Aufrufe: 62     Aktiv: 13.11.2023 um 20:20

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Guten Abend,

Ich hätte noch eine wichtige Frage:

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Der Satz war: Es sind Z1,…,Zm aus Rn

& Z = Lin(Z1,…,Zm) (Lin steht für lineare Hülle) und D1,…Dn aus U (Element von U).

Es gelte n < m.

Zeige, das ein c existiert aus den natürlichen Zahlen und das wenn Dn+1,…,Dc (n < c) aus {Z1,…,Zm} ist, das dann D1,…Dc eine Basis von Z ist.

 

Mein Ansatz war: Zuerst einmal wissen wir, das Z1,…,Zm eine erzeugende Basis von Z ist, da ja Z = Lin(Z1,…,Zm) gilt. Desweiteren soll das System D1,…Dn aus Z sein und auch linear unabhängig sein. Daher wird impliziert, das {Z1,…,Zm} die Basis von Z und {D1,…,Dn} die linear unabhängigen Vektoren aus Z sind. Demnach gilt ja n < m und somit auch Lin(D1,…,Dn) Teilmenge von Lin(Z1,…,Zm) = Z.

Falls n = m gilt, so ist D1,..,Dn schon bereits eine Basis von Z & man ist fertig.

Doch andernfalls, wenn n < m gilt, so gilt auch Lin(D1,..,Dn) ist eine echte Teilmenge von Z. Daher erzeugen also die Linearkombinationen von D1,…,Dn nur ein Teil von Z.

Nach dem Basisergänzungsprinzip, darf man zu den vorhandenen Basen, linaer unabhängige (zu sich selbst auch) ergänzen. Demnach muss bei den Vektoren, die ergänzt werden, die lineare Unabhängigkeit gelten und sie müssen in Z liegen, so wie erzeugend sein. Demnach gelte bei den restlichen Di (i = n + 1,..,s) Element von {Z1,..,Zm}, da ja diese Menge schon linear unabhängig und erzeugend ist, so wie auch in Z liegt.

Nach ungefähr c - (n + 1) Schritten hat man den Unterraum Zc erzeugt mit den Basen D1,…,Dn, Dn+1,…,Dc aus Z. Da aber ja schon ursprünglich Z1,…,Zm den Unterraum Z erzeugt und dessen Basis ist, muss natürlich auch n + c < (oder =) m gelten. Nach c < (oder gleich) m - n Schritten hat man dann Z erzeugt und es gilt Z = Zc. Also ist D1,…,Dc eine Basis von Z.

 

Wäre dieser Ansatz korrekt, um den Satz zu beweisen. (Falls nicht, bitte wieder keine Lösung vorgeben, nur meinen Ansatz, wenn dann kritisieren).

 

Danke im voraus! :)

Mit freundlichen Grüßen…

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